数学分析理论基础6：收敛数列的性质

收敛数列的性质

唯一性

定理：若数列收敛,则它只有一个极限

证明：

有界性

定理：若数列收敛,则为有界数列,即,使有

证明：

保号性

定理：若,则,,使得当时有

证明：

注：应用保号性时常取

推论：设,则,使得当时有

证明：

保不等式性

定理：设与均为收敛数列,若,使得当时有,则

证明：

例：设,证明：若,则

证：

迫敛性

定理：设收敛数列都以a为极限,数列满足：,当时有,则数列收敛,且

证明：

例：求数列的极限

解：

例：证明

证：

四则运算法则

定理：

若与为收敛数列,则,,都是收敛数列,且有

假设,则也是收敛数列,且有

证明：

例：求,其中

解：

子列

定义：设为数列,为正整数集的无限子集,且,则数列称为数列的一个子列,记作

注：

1.中的第k项是中的第项,故总有

2.本身也是正整数列{n}的子列

3.本身也是的一个子列,此时

定理：数列收敛的任何子列都收敛

证明：

注：上述定理是判断数列发散的有力工具

例：数列的奇子列发散,故数列发散