高数——分部积分法——学习笔记（27）

理解1

就是有的时候直接积分积不出来,然后利用积法则

即

d(uv)=u'v+uv'

两边积分就有

uv=∫ u'vdx+∫uv'dx

例如积∫lnxdx

不是很好直接积,但是利用分部积分就很容易

令u'=1,v=lnx

我们就有u=x

所以

xlnx=∫lnx dx+∫x*(lnx)'dx

xlnx=∫lnx dx+∫1dx

∫lnx dx=xlnx-x+C

此即为分部积分

通常写成

∫ u'vdx=uv-∫uv'dx

理解2

设函数f(x)、g(x)连续可导,对其乘积求导,有：

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

上式两边求不定积分,得：

∫[f(x)g(x)]'dx=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx

得：

f(x)g(x)=∫g(x)df(x)+∫f(x)dg(x)

得：

∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)-∫g(x)df(x)

写的更通俗些

令u=f(x),v=g(x),则微分du = f'(x)dx、dv = g'(x)dx

那么∫udv=uv-∫vdu

分部积分法通常用于被积函数为幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的乘积的形式；u=f(x)、v=g(x)的选择也是容易积分的那个.

分部积分的本质

原本的函数是 udv，可能积分及不出来，但是变成 vdu 之后，

有可能积出来，也有可能被积函数变得简单了。最常见的变得

简单，有两个特色：对数函数消失了，或者幂次降低了。

分部积分的局限

绝大多数的积分，是无法通过分部积分积出来的。有很多定积

分是不定积分无论如何都积不出来的，一定要在特殊的定积分

的条件下才能积分，而且必须使用复变函数、积分变换之类的

特别方法才能解决。

分部积分仅仅只能解决很少的积分，积不出来，有一些可能是分部积分的技巧不到家，更大的可能性是分部积分根本无能为力的。

三指幂对反

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这里指数函数和三角函数可以交换顺序。但是要注意：题目如果要用到多次分部积分法，那么你开始选择了哪个函数和dx凑就要专一的一直用这个函数去凑！