MIT算法导论九 二叉搜索树

二叉搜索树（BST）

对一颗二叉查找树的任何节点，该节点的左子树中的任何一个节点的值都小于等于该节点的值，该节点的右子树中的任何一个节点的值都大于等于该节点的值
最坏时间复杂度O（n），一般时间复杂度O（lgn）
二叉查找树的特征可知，采用中序遍历一棵二叉查找树，可以得到树中关键字有小到大的序列

如何构造性能良好的二叉搜索树？

随机化

BST sort与quicksort 的关系：

BST SORT(A) {  
　　T = 0   // Create an empty BST  
　　for i=1 to n  
　　　　do Tree-Insert(T,A[i])  
　　Perform an inorder tree walk of T  
}  

Ex. A = [ 3 1 8 2 6 7 5 ]

建立二叉树

分析建立二叉树时间复杂，与快排完全一致
最好情况是完全二叉树，树完全是平衡的，高度也达到最小，时间复杂度为**Θ(nlgn)**
最差情况是当元素完全顺序或逆序时，生成的数就是一个链表，时间复杂度为**Θ(n^2^)**
基于快排的优化方案，自然就想到了随机化版本的BSTsort

先随机化的重新排列数组，然后再执行BST sort
快排的时间复杂度得BST sort的时间复杂度为Θ(nlgn)
进一步得到树的平均深度的期望：Θ(lgn)

我们关注的是平均高度而不是实际高度，即每个节点的高度和的平均值。而实际上，树的实际高度可能远大于logn

要证明的定理是随机化BST建立的树的高度的期望确实是lgn
这样才能证明建立随机化二叉搜索树，查询的时间复杂度为Θ(nlgn)
证明过程略