动态规划之经典例题

1、三角数塔问题
设有一个三角形的数塔，顶点为根结点，每个结点有一个整数值。从顶点出发，可以向左走或向右走，如图所示：


要求从根结点开始，请找出一条路径，使路径之和最大，只要输出路径的和。
【代码】
//
// 例题1 三角数字塔问题 //
//
#include
#include

#define MAXN 101

int n,d[MAXN][MAXN];
int a[MAXN][MAXN];

void fnRecursive(int,int);
//递推方法函数声明
int fnMemorySearch(int,int);
//记忆化搜索函数声明

int main()
{
int i,j;
printf("输入三角形的行数n(n=1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("按行输入数字三角形上的数(1-100):\n");
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=i; j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=i; j++)
d[i][j]=-1;//初始化指标数组
printf("递推方法：1\n记忆化搜索方法：2\n");
int select;
scanf("%d",&select);
if(select==1)
{
fnRecursive(i,j);//调用递推方法
printf("\n%d\n",d[1][1]);
}
if(select==2)
{
printf("\n%d\n",fnMemorySearch(1,1));//调用记忆化搜索方法
}
else
printf("输入错误！");

return 0;
}

void fnRecursive(int i,int j)
//递推方法实现过程
{
for(j=1; j<=n; j++)
d[n][j]=a[n][j];
for(i=n-1; i>=1; i--)
for(j=1; j<=i; j++)
d[i][j]=a[i][j]+(d[i+1][j]>d[i+1][j+1]?d[i+1][j]:d[i+1][j+1]);
}

int fnMemorySearch(int i,int j)
//记忆化搜索实现过程
{
if(d[i][j]>=0) return d[i][j];
if(i==n) return(d[i][j]=a[i][j]);
if(fnMemorySearch(i+1,j)>fnMemorySearch(i+1,j+1))
return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j)));
else
return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j+1)));
}

2、硬币问题
问题描述：有n种硬币，面值分别为V1,V2,…,Vn, 每种有无限多。给定非负整数S，可以选用多少硬币，使得面值之和恰好为S，输出硬币数目的最小值和最大值。（1<=n<=100,0<=S<=10000,1<=Vi<=S）
【代码】
//
// 例题1 硬币问题 //
//
#include
#include

#define INF 100000000
#define MAXNUM 10000
#define MONEYKIND 100

int n,S;
int V[MONEYKIND];
int min[MAXNUM],max[MAXNUM];

void dp(int*,int*);
//递推方法函数声明
void print_ans(int*,int);
//输出函数声明

int main()
{
int i;
printf("输入硬币的种数n(1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入要组合的钱数S(0-10000):\n");
scanf("%d",&S);
printf("输入硬币种类：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&V[i]);
}
dp(min,max);
printf("最小组合方案：\n");
print_ans(min,S);
printf("\n");
printf("最大组合方案：\n");
print_ans(max,S);

return 0;
}

void dp(int *min,int *max)
//递推过程实现
{
int i,j;
min[0] = max[0] = 0;
for(i=1; i<=S; i++)//初始化数组
{
min[i]=INF;
max[i]=-INF;
}
for(i=1; i<=S; i++)
for(j=1; j<=n; j++)
if(i>=V[j])
{
if(min[i-V[j]]+1 min[i]=min[i-V[j]]+1;//最小组合过程
//printf("%d\n",min[i]);
}
if(max[i-V[j]]+1>max[i])
max[i]=max[i-V[j]]+1;//最大组合过程
}
}

void print_ans(int *d,int S)
//输出函数实现
{
int i;
for(i=1; i<=n; i++)
if(S>=V[i]&&d[S]==d[S-V[i]]+1)
{
printf("%d-",V[i]);
print_ans(d,S-V[i]);
break;
}
}

3、矩形嵌套问题
问题描述：有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a,b描述，表示它的长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中，当且仅当a【代码】
//
// 例题2 矩形嵌套问题 //
//
#include
#include

#define MAXNUM 100//矩形的最大个数
struct Rect
{
int x;
int y;
};

int n;//矩形个数
struct Rect rect[MAXNUM];
int G[MAXNUM][MAXNUM];//邻接有向图
int d[MAXNUM];//过程数组

int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM]);

int main()
{
int i,j,z;
printf("输入矩形个数n(1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入矩形的长和宽：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&rect[i].x);
scanf("%d",&rect[i].y);
}
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=n; j++)
{
if(rect[i].x G[i][j]=1;
}
printf("输入要开始的矩形z：\n");
scanf("%d",&z);
//printf("%d-",z);
int temp = dp(z,G);
printf("最大可嵌套个数：%d\n",temp);
return 0;
}

int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM])
{
int j;
if(d[i]>0)
return d[i];
d[i]=1;
for(j=1; j<=n; j++)
if(G[i][j])
if(dp(j,G)+1>d[i])
{
d[i]=dp(j,G)+1;
}
return d[i];
}


4、求一组数列的最长的不下降序列。
问题描述：设有一个正整数序列b1，b2，b3，……，bn，若下标为i1 样例输入：13　7　9　16　38　24　37　18
　样例输出：5 (7 9 16 24 37)
【代码】
//
// 例题2 数组的最长不下降序列问题 //
//
#include
#include

#define MAXNUM 100//最大数字个数

int b[MAXNUM][2];
int n;
int len;

int main()
{
int i,j;
printf("输入数列中数字的个数n(1-100)：\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入数字：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&b[i][0]);
b[i][1]=1;
}
for(i=2; i<=n; i++)
{
len = 0;
for(j=1; j if((b[i][0]>=b[j][0])&&(b[j][1]>len))
len=b[j][1];
if(len>0)
b[i][1]=len+1;
}
len = 1;
for(j=2; j<=n; j++)
if(b[j][1]>len)
len = b[j][1];
printf("最长为：%d\n",len);
return 0;
}


5、0-1背包问题
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
【代码】
//
// 0-1背包问题 //
//
#include
#include

#define MAXN 100//物品种类最大数量

int w[MAXN],V[MAXN];
int C;//最大容量
int n;//物品种类
int d[MAXN][MAXN];
int jMax;

int min(int,int);
//两数之间的最小值
int max(int,int);
//两数之间的最大值
void print_ans(int d[][MAXN],int,int);
//构造最优解并输出

int main()
{
int i,j;
printf("输入物品种类数n(1-100):\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入每个种类的重量：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&w[i]);
}
printf("输入每个种类的价值：\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&V[i]);
}
printf("输入背包的容量C：\n");
scanf("%d",&C);


jMax=min(C,w[n]-1);
for(j=0; j<=jMax; j++)