数据结构——树的理解路线（总）

资料整理于：1、《啊哈！算法》、《大话数据结构》

                        2、http://www.cnblogs.com/cxiaojia/archive/2012/08/14/2637948.html

1、树的相关定义

（1）树：包含n（n>0）个节点的有穷集合，其中每个元素称为节点（node）；有一个特定的节点被称为根节点或树根（root）；除根节点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的结合T1，T2，……Tm-1，而其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。

（2）节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；

（3）树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

（4）叶节点或终端节点：度为零的节点称为叶节点；

（5）分支节点或非终端节点：度不为零的节点；

（6）父节点或双亲节点：若一个结点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

（7）子节点或孩子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

（8）兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

（9）节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

（10）子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

（11）节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

（12）树的深度或高度：定义一棵树的根结点层次为1，其他节点的层次是其父结点层次加1。一棵树中所有结点的层次的最大值称为这棵树的深度。

（13）森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2、树的特点

（1）每个节点有零个或多个子节点。

（2）每个子节点只有一个父节点。

（3）没有父节点的节点称为根节点。

3、树的分类

根据形态可以分为以下两种：

（1）二叉树

• 满二叉树
• 完全二叉树
• 斜树

（2）多叉树

还有其他根据应用特性而命名的树，比如线索二叉树、平衡二叉树、二叉排序树、多路查找树（2-3树、2-3-4树、B树、B+树等）、最小生成树等，本质是上述两种类型。

4、树的特点和性质

由于实际中二叉树用得最多，而且多叉树可以转化成二叉树，因此主要讲二叉树的性质。

性质1：在二叉树的第i层上，至多有2^（i-1）个节点。

性质2：深度为k的二叉树，至多有2^k-1个节点。

性质3：对任何的一颗二叉树，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则有n0=n2+1。

性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度为 [ log2(n) ]+1（[ x ]表示不大于x的最大整数）。

性质5：有n个节点的完全二叉树，从第一层到[ log2(n) ]+1层，每层从左到右编号，对任一节点i，如果i=1，则是二叉树的根；如果i>1，则 [ i / 2 ]是其父节点；如果2i>n，则i无左孩子，否则其左孩子是2i；如果2i+1>n，则节点无右孩子，否则右孩子是2i+1。

5、树的表示（存储结构）

由于实际中二叉树用得最多，而且多叉树可以转化成二叉树，因此主要讲二叉树的存储结构，即如何表示二叉树结构，和创建实际的二叉树。这里有几种表示方法：

（1）孩子兄弟表示法：每个节点设置两个指针，分别指向该节点的第一个孩子和此节点的兄弟。

typedef struct TreeNode
{
	int data;
	//other data information
	struct TreeNode *fisrtchild;
	struct TreeNode *BrotherNode;
}node;

（2）子节点表示法；

（3）父节点表示法；

6、树的操作与用途

（1）遍历二叉树，如前序、后序、中序遍历（并推导遍历结果）；

（2）对树进行节点的删减和添加；

（3）运用于查找（平衡二叉树、多路查找树），排序（（堆）排序等）等；