涉及的物理、数学公式及计算过程

计算中存在的问题

模拟的可视化主要基于Geogebra实现。Geogebra演示能力强，操作大部分是交互式的，少量的代码和函数只是让它潜能更大。Geogebra的数值计算方法的能力之强，远超出了常人对一个几何类软件本该有的期望。——这就是为何选择Geogebra作模拟的工具。

进行简单数值模拟，涉及一些数值计算。复杂和可用解析求解验算的，不妨借助代数符号计算方面的工具完成。

不过计算过程之中，碰上解析的解不存在、而geogebra的计算又力所不能及的情况，仍然留有遗憾。虽然可以在其它软件里面计算离散点，拟合出反函数，但是这个笨办法比较笨拙，不是首选。

模拟计算中的不同方面

充分利用已知条件和假设，简化建模，然后找切入点

曲线方程及其图像：

y(x)=1+cosx,x≥0(1)

机械能守恒：

势能到动能的转化：

12mv20+mgΔh=12mv2⇒v(x0)=v20+2g(1−cosx0)−−−−−−−−−−−−−−−√(2)

求 v 的水平方向分量：

y(x)=1+cosx⇒y′(x)=−sin(x)

所以，切线方向即速度方向和如下向量相同

(11+sin2x−−−−−−−−√,−sinx1+sin2x−−−−−−−−√)

所以，速度 v(x0) 沿水平和垂直方向分解，则速度水平分量的大小是：

vh(x0)=v(x0)1+sin2x0−−−−−−−−−√=v20+2g(1−cosx0)1+sin2x0−−−−−−−−−−−−−−−−√(3)

时间的计算

则在 x 附近跑完足够小的水平距离微元 dx 所用时间：

dτ=dxvh(x)

从 x=0 出发贴着曲线运动到 x0 所用的时间：

τ(x0)=∫x00dxvh(x)=∫x001+sin2xv20+2g(1−cosx)−−−−−−−−−−−−−−−√dx(4)

不对速度进行分解，则利用弧长的微分，相除之后积分得到相同结果：

弧长微分：

ds=1+y′(x)2−−−−−−−−√dx=1+sin2x−−−−−−−−√dx(5)

把 (2) 代入，直接得到跟 (4) 等价的结果：

τ(x0)=∫x=x0x=0dsv(x)=∫x001+sin2xv20+2g(1−cosx)−−−−−−−−−−−−−−−√dx(4')

这意味着，沿曲线运动的小球运动到水平位置的坐标为 x0 处时， 时间用掉了 τ(x0) ， 一直沿着水平方向运动的小球在同一时间走过的水平方向的路程是 v0⋅τ(x0) ， 公式也容易看到一般情况下 v0⋅τ(x0)≠x0 。

一般情况下，不指望能求出这个积分的解析解，数值解则是容易的。——即使这么简单的问题的计算，也要对相对复杂的被积函数求数值积分。被积函数虽然复杂，但是性质很好，所以这种数值积分的任务在Geogebra里面可以轻松完成。

数值问题和特殊函数的反函数

然而，给定时间 t ，是否能够得到解析形式的沿曲线的小球水平方向上走了多远 x(t) ？看似合理的要求，求一个积分函数 (4) 的反函数又有些不近情理。

为什么在模拟中，由给定的时间计算沿曲线运动的小球的位置是重要的？因为模拟的是小球的运动或动力学，其运动状态要随着时间的演化作演示。

——之前的演示是如何实现的？是让沿曲线运动的小球在 x 方向的位移均匀变化的情况下实现的（从而，这个假的模拟用的伪时间，跟真正的时间之间并非线性关系）。

此外，如果只是从单纯模拟的角度考虑，可以对 (4) 计算出密密麻麻的一系列 (x,τ) ，不妨叫它 (x,τ) 表；我们当年查三角函数表、对数表、概率统计问题的分布表，跟这个原理就非常类似。（题外话：我一直不理解，大学的有些老师们，在各种类似WPS和MS Excel 等spreadsheet数学类工具软件内置函数都很强大的情况下，不教软件而仍然只强调这些表格的重要性，这是为什么；难道不该淘汰这些东西吗）然后用查表和 插值的方法可以轻松实现逆函数的数值近似。但是这种方法，初值每变化一次，都要对 (x,τ) 表格从新计算。理想的情况下当然是能够有Geogebra计算能力之内的解析解。（这个任务，在mathematica, maple, matlab等里面是可以通过迭代方法实现的，不过geogebra还没这么厉害）

为了解决这个问题，还有一种思路是：喊救命，求助。——因为我经常这么做，已经很有经验了，分享一下。

我通常的第一选项是，stackexchange.com 上面发问题，等集思广益。既然还跟Geogebra的局限性有关，当然第二选项是到Geogebra的Forum上提问，但是这两天，这个geogebra.org又只有翻了才能稳定地连接上，这大大降低了效率。我很生气，但是后果不严重。

计算有什么用？

看了半天计算，这个简单例子，定性分析受力情况也应该想象得到。然而，定量计算跟定性结果的对比，让我对这个例子的理解前所未有的深入。知道了简化模型的局限所在，也知道了计算的局限，以及原始的案例要想实现，哪些条件须满足，甚至，如果涉及到更复杂些的情况，如何分析等等。

计算是笨拙的，只能对简化了的情形。计算又很有用，即使简化了的情形，也能让人了解更多更深入。

更新

终于有点空闲，更新一下。表格其实跟离散点齐次多项式拟合效果相似。用齐次多项式拟合，然后，修正之前的图。初速度分别为 3、5、12的情况下，小球约束在曲线 1+cosx 上运动的动画。注意: 要想让小球自由滚动，而不发生平抛，临界速度约 10−−√≈3.16 ：

初始速度为3 ，必然不会平抛的情况下，沿曲线运动的小球，水平位置一直超前于沿水平直线运动前进的小球：

初始速度为5 ，速度稍微大于临界速度 10−−√ ，无其它约束（在曲线上）的话，一开始会有平抛；有约束的时候，约束力和重力的合力的水平分量方向跟小球水平运动方向相反，为减速力。这导致沿曲线运动的红色小球，最初阶段其水平位移落后于沿水平直线运动前进的蓝色小球，从模拟图也可以看到：

当初始速度高于临界值很多，为12 的时候，红色小球水平方向的总体的滞后就分外明显了：

这三个图中，我用常数项为0的多项式拟合特定时刻红色小球的水平方向位移，即：如下函数的反函数，在图示所须的区间上，用多项式拟合求得：

τ(x)=∫x0sin2(t)+12g(1−cost)+v20−−−−−−−−−−−−−−√dx

之后在Geogebra中就很容易计算了。——这是动态图中蓝色小球终于是匀速运动的了。之前的其实是变速的，用于模拟时，红色小球和蓝色小球运动状况都不够逼真。