《大话数据结构》-程杰 读书笔记
认为程序设计的实质是对确定的问题选择一种好的结构，加上设计一种好的算法。可见，数据结构在程序设计当中占据了重要的地位。程序设计=数据结构+算法
要你相信自己一定可以学得会、学得好，既然无数人已经掌握了，你凭什么不行。
于每个链表来说，它所占用空间的大小和位置是不需要预先分配划定的，可以根据系统的情况和实际的需求即时生成。
事实上，使用这样的数据结构，通常都是当两个栈的空间需求有相反关系时，也就是一个栈增长时另一个栈在缩短的情况。就
栈的引入简化了程序设计的问题，划分了不同关注层次，使得思考范围缩小，更加聚焦于我们要解决的问题核心。反之，像数组等，因为要分散精力去考虑数组的下标增减等细节问题，反而掩盖了问题的本质。
在高级语言中，调用自己和其他函数并没有本质的不同。我们把一个直接调用自己或通过一系列的调用语句间接地调用自己的函数，称做递归函数。 当然，写递归程序最怕的就是陷入永不结束的无穷递归中，所以，每个递归定义必须至少有一个条件，满足时递归不再进行，即不再引用自身而是返回值退出。比如刚才的例子，总有一次递归会使得i<2的，这样就可以执行return i的语句而不用继续递归了。
后缀表达式：9 3 1-3*+10 2/+ 规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。
中缀表达式转后缀表达式
中缀表达式“9+(3-1)×3+10÷2”转化为后缀表达式“9 3 1-3*+10 2/+”。 规则：从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，若是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分；若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级不高于栈顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。
队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。 队列是一种先进先出（First In First Out）的线性表，简称FIFO。允许插入的一端称为队尾，允许删除的一端称为队头。
队列在程序设计中用得非常频繁。前面我们已经举了两个例子，再比如用键盘进行各种字母或数字的输入，到显示器上如记事本软件上的输出，其实就是队列的典型应用，
队列的链式存储结构及实现 队列的链式存储结构，其实就是线性表的单链表，只不过它只能尾进头出而已，我们把它简称为链队列。
队列的链式存储结构及实现 队列的链式存储结构，其实就是线性表的单链表，只不过它只能尾进头出而已，我们把它简称为链队列。为了操作上的方便，我们将队头指针指向链队列的头结点，而队尾指针指向终端结点，如图4-13-1所示。
栈（stack）是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。 队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。
事实上，串的比较是通过组成串的字符之间的编码来进行的，而字符的编码指的是字符在对应字符集中的序号。
计算机中的常用字符是使用标准的ASCII编码，更准确一点，由7位二进制数表示一个字符，总共可以表示128个字符。后来发现一些特殊符号的出现，128个不够用，于是扩展ASCII码由8位二进制数表示一个字符，总共可以表示256个字符，这已经足够满足以英语为主的语言和特殊符号进行输入、存储、输出等操作的字符需要了
因此后来就有了Unicode编码，比较常用的是由16位的二进制数表示一个字符，这样总共就可以表示2 16个字符，约是6.5万多个字符，足够表示世界上所有语言的所有字符了。当然，为了和ASCII码兼容，Unicode的前256个字符与ASCII码完全相同。
5.5.1 串的顺序存储结构 串的顺序存储结构是用一组地址连续的存储单元来存储串中的字符序列的。按照预定义的大小，为每个定义的串变量分配一个固定长度的存储区。一般是用定长数组来定义。
。 于是对于串的顺序存储，有一些变化，串值的存储空间可在程序执行过程中动态分配而得。比如在计算机中存在一个自由存储区，叫做“堆”。这个堆可由C语言的动态分配函数malloc()和free()来管理。
于是有三位前辈，D.E. Knuth、J.H. Morris和V.R. Pratt（其中Knuth和Pratt共同研究，Mor-ris独立研究）发表一个模式匹配算法，可以大大避免重复遍历的情况，我们把它称之为克努特—莫里斯—普拉特算法，简称KMP算法。
注意这里是理解KMP算法的关键。如果我们知道T串中首字符“a”与T中后面的字符均不相等（注意这是前提，如何判断后面再讲）。
串（string）是由零个或多个字符组成的有限序列，又名叫字符串。本质上，它是一种线性表的扩展，但相对于线性表关注一个个元素来说，我们对串这种结构更多的是关注它子串的应用问题，如查找、替换等操作。
树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n＞1时，其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
6.2 树的定义 之前我们一直在谈的是一对一的线性结构，可现实中，还有很多一对多的情况需要处理，所以我们需要研究这种一对多的数据结构——“树”，考
6.2.1 结点分类 树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（De-gree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。
简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。
不过充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。我们这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。
双亲表示法
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。它的结点结构为表6-4-1所示。
换一种完全不同的考虑方法。由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。不过，树的每个结点的度，也就是它的孩子个数是不同的。所以可以设计两种方案来解决。
这就是我们要讲的孩子表示法。具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，如图6-4-4所示。
孩子兄弟表示法 刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度考虑又会如何呢？当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。
二叉树的特点有： 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。就像人有双手、双脚，但显然左手、左脚和右手、右脚是不一样的，右手戴左手套、右脚穿左鞋都会极其别扭和难受。 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。图6-5-3中，树1和树2是同一棵树，但它们却是不同的二叉树。就好像你一不小心，摔伤了手，伤的是左手还是右手，对你的生活影响度是完全不同的。
二叉树具有五种基本形态： 1.空二叉树。 2.只有一个根结点。 3.根结点只有左子树。 4.根结点只有右子树。 5.根结点既有左子树又有右子树。
斜树
所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。
单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这就做到了整棵树的平衡。因此，满二叉树的特点有：（1）叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡。（2）非叶子结点的度一定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
完全二叉树 对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树，如图6-5-6所示。
二叉树性质1 性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i≥1）。
性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）。
性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2n+1|（|x|表示不大于x的最大整数）。
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有： 1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。 2．如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。 3．如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。 我们以图6-6-2为例，来理解这个性质。这是一个完全二叉树，深度为4，结点总数是10。
二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等。
前序遍历 规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如图6-8-2所示，遍历的顺序为：ABDGH-CEIF。
中序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。
．后序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。如图6-8-4所示，遍历的顺序为：
层序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。
我们可以考虑利用那些空地址，存放指向结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的地址。就好像GPS导航仪一样，我们开车的时候，哪怕我们对具体目的地的位置一无所知，但它每次都可以告诉我从当前位置的下一步应该走向哪里。这就是我们现在要研究的问题。我们把这种指向前驱和后继的指针称为线索，加上线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树（Threaded Binary Tree）。
故事是说联合利华引进了一条香皂包装生产线，结果发现这条生产线有个缺陷：常常会有盒子里没装入香皂。总不能把空盒子卖给顾客啊，他们只好请了一个学自动化的博士设计一个方案来分拣空的香皂盒。博士组织成立了一个十几人的科研攻关小组，综合采用了机械、微电子、自动化、X射线探测等技术，花了几十万，成功解决了问题。每当生产线上有空香皂盒通过，两旁的探测器会检测到，并且驱动一只机械手把空皂盒推走。 中国南方有个乡镇企业也买了同样的生产线，老板发现这个问题后大为光火，找了个小工来说：你把这个问题搞定，不然老子炒你鱿鱼。小工很快想出了办法：他在生产线旁边放了台风扇猛吹，空皂盒自然会被吹走。 这个故事在网上引起了很大的争议，我相信大家听完后也会有不少的想法。不过我在这只是想说，有很多复杂的问题都是可以有简单办法去处理的，在于你肯不肯动脑筋，在于你有没有创新。
在讲树的存储结构时，我们提到了树的孩子兄弟法可以将一棵树用二叉链表进行存储，所以借助二叉链表，树和二叉树可以相互进行转换。从物理结构来看，它们的二叉链表也是相同的，只是解释不太一样而已。因此，只要我们设定一定的规则，用二叉树来表示树，甚至表示森林都是可以的，森林与二叉树也可以互相进行转换。
赫夫曼树
最基本的压缩编码方法——赫夫曼编码。
赫夫曼大叔说，从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目称做路径长度。
如果考虑到带权的结点，结点的带权的路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。假设有n个权值{w1,w2,...,wn}，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wk，每个叶子的路径长度为lk，我们通常记作，则其中带权路径长度WPL最小的二叉树称做赫夫曼树。
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
对于图的定义，我们需要明确几个注意的地方。 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。那么对于图呢？我记得有一个笑话说一个小朋友拿着一张空白纸给别人却说这是他画的一幅“牛吃草”的画，“那草呢？”“草被牛吃光了。”“那牛呢？”“牛吃完草就走了呀。”之所以好笑是因为我们根本不认为一张空白纸算作画的。同样，在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合V有穷非空。 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。
无向边：若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对(vi,vj)来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图（Undirected graphs）。
有向边：若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。用有序偶来表示，vi称为弧尾（Tail），vj称为弧头（Head）。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed graphs）。
图7-2-5 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边，
顶点v的度（Degree）是和v相关联的边的数目，记为TD(v)。例如图7-2-8左侧上方的无向图，顶点A与B互为邻接点，边(A,B)依附于顶点A与B上，顶点A的度为3。而此图的边数是5，各个顶点度的和=3+2+3+2=10，推敲后发现，边数其实就是各顶点度数和的一半，多出的一半是因为重复两次记数。
对于有向图G=(V,{E})，如果弧∈E，则称顶点v邻接到顶点v'，顶点v'邻接自顶点v。弧和顶点v，v'相关联。以顶点v为头的弧的数目称为v的入度（InDegree），记为ID(v)；以v为尾的弧的数目称为v的出度（OutDegree），记为OD(v)；顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)。
图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。 图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。 图上的边或弧上带权则称为网。 图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。 无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历（Depth_First_Search），也有称为深度优先搜索，简称为DFS。它的具体思想就如同我刚才提到的找钥匙方案，无论从哪一间房间开始都可以，比如主卧室，然后从房间的一个角开始，将房间内的墙角、床头柜、床上、床下、衣柜里、衣柜上、前面的电视柜等挨个寻找，做到不放过任何一个死角，所有的抽屉、储藏柜中全部都找遍，形象比喻就是翻个底朝天，然后再寻找下一间，直到找到为止。
广度优先遍历（Breadth_First_Search），又称为广度优先搜索，简称BFS。还是以找钥匙的例子为例。小孩子不太可能把钥匙丢到大衣柜顶上或厨房的油烟机里去，深度优先遍历意味着要彻底查找完一个房间才查找下一个房间，这未必是最佳方案。所以不妨先把家里的所有房间简单看一遍，看看钥匙是不是就放在很显眼的位置，如果全走一遍没有，再把小孩在每个房间玩得最多的地方或各个家俱的下面找一找，如果还是没有，那看一下每个房间的抽屉，这样一步步扩大查找的范围，直到找到为止。事实上，我在全屋查找的第二遍时就在抽水马桶后面的地板上找到了。
我们在讲图的定义和术语时，曾经提到过，一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。显然图7-6-2的三个方案都是图7-6-1的网图的生成树。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树（Minimum Cost SpanningTree）。 找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，……，vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在顶点vj之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。
查找： 查找（Searching）就是根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。
查找表按照操作方式来分有两大种：静态查找表和动态查找表。 静态查找表（Static Search Table）：只作查找操作的查找表。它的主要操作有：（1）查询某个“特定的”数据元素是否在查找表中。（2）检索某个“特定的”数据元素和各种属性。
动态查找表（Dynamic Search Table）：在查找过程中同时插入查找表中不存在的数据元素，或者从查找表中删除已经存在的某个数据元素。显然动态查找表的操作就是两个：（1）查找时插入数据元素。（2）查找时删除数据元素。
也就是mid等于最低下标low加上最高下标high与low的差的一半。算法科学家们考虑的就是将这个1/2进行改进，改进
数据结构的最终目的是提高数据的处理速度，索引是为了加快查找速度而设计的一种数据结构。索引就是把一个关键字与它对应的记录相关联的过程，一个索引由若干个索引项构成，每个索引项至少应包含关键字和其对应的记录在存储器中的位置等信息。索引技术是组织大型数据库以及磁盘文件的一种重要技术。
索引按照结构可以分为线性索引、树形索引和多级索引。我们这里就只介绍线性索引技术。所谓线性索引就是将索引项集合组织为线性结构，也称为索引表。我们重点介绍三种线性索引：稠密索引、分块索引和倒排索引。
稠密索引要应对的可能是成千上万的数据，因此对于稠密索引这个索引表来说，索引项一定是按照关键码有序的排列。
稠密索引因为索引项与数据集的记录个数相同，所以空间代价很大。为了减少索引项的个数，我们可以对数据集进行分块，使其分块有序，然后再对每一块建立一个索引项，从而减少索引项的个数。 分块有序，是把数据集的记录分成了若干块，并且这些块需要满足两个条件： 块内无序，即每一块内的记录不要求有序。当然，你如果能够让块内有序对查找来说更理想，不过这就要付出大量时间和空间的代价，因此通常我们不要求块内有序。 块间有序，例如，要求第二块所有记录的关键字均要大于第一块中所有记录的关键字，第三块的所有记录的关键字均要大于第二块的所有记录关键字……因为只有块间有序，才有可能在查找时带来效率。
大家可能都听过这个故事，说有两个年轻人正在深山中行走。忽然发现远处有一只老虎要冲过来，怎么办？其中一个赶忙弯腰系鞋带，另一个奇怪地问：“你系鞋带干什么？你不可能跑得比老虎还快。”系鞋带者说：“我有什么必要跑赢老虎呢？我只要跑得比你快就行了。”
真是交友不慎呀！别急，如果你的朋友是系鞋带者，你怎么办？ 后来老虎来了，系鞋带者拼命地跑，另一人则急中生智，爬到了树上。老虎在选择爬树还是追人之间，当然是会选择后者，于是结果……爬树者改变了跑的思想，这一改变何等重要，捡回了自己的一条命。
通常称它为二叉排序树。 二叉排序树（Binary Sort Tree），又称为二叉查找树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树。 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。 从二叉排序树的定义也可以知道，它前提是二叉树，然后它采用了递归的定义方法，再者，它的结点间满足一定的次序关系，左子树结点一定比其双亲结点小，右子树结点一定比其双亲结点大。 构造一棵二叉排序树的目的，其实并不是为了排序，而是为了提高查找和插入删除关键字的速度。不管怎么说，在一个有序数据集上的查找，速度总是要快于无序的数据集的，而二叉排序树这种非线性的结构
从平衡二叉树的英文名字，你也可以体会到，它是一种高度平衡的二叉排序树。那什么叫做高度平衡呢？意思是说，要么它是一棵空树，要么它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。我们将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF（Balance Factor），那么平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0和1。只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。
内存一般都是由硅制的存储芯片组成，这种技术的每一个存储单位代价都要比磁存储技术昂贵两个数量级，因此基于磁盘技术的外存，容量比内存的容量至少大两个数量级。
2-3树是这样的一棵多路查找树：其中的每一个结点都具有两个孩子（我们称它为2结点）或三个孩子（我们称它为3结点）。 一个2结点包含一个元素和两个孩子（或没有孩子），且与二叉排序树类似，左子树包含的元素小于该元素，右子树包含的元素大于该元素。不过，与二叉排序树不同的是，这个2结点要么没有孩子，要有就有两个，不能只有
2-3树是这样的一棵多路查找树：其中的每一个结点都具有两个孩子（我们称它为2结点）或三个孩子（我们称它为3结点）。 一个2结点包含一个元素和两个孩子（或没有孩子），且与二叉排序树类似，左子树包含的元素小于该元素，右子树包含的元素大于该元素。不过，与二叉排序树不同的是，这个2结点要么没有孩子，要有就有两个，不能只有一个孩子。
一个3结点包含一小一大两个元素和三个孩子（或没有孩子），一个3结点要么没有孩子，要么具有3个孩子。如果某个3结点有孩子的话，左子树包含小于较小元素的元素，右子树包含大于较大元素的元素，中间子树包含介于两元素之间的元素。
B树（B-tree）是一种平衡的多路查找树，2-3树和2-3-4树都是B树的特例。结点最大的孩子数目称为B树的阶（order），因此，2-3树是3阶B树，2-3-4树是4阶B树。 一个m阶的B树具有如下属性：
如果根结点不是叶结点，则其至少有两棵子树。 每一个非根的分支结点都有k-1个元素和k个孩子，其中。每一个叶子结点n都有k-1个元素，其中。 所有叶子结点都位于同一层次。 所有分支结点包含下列信息数据
B+树是应文件系统所需而出的一种B树的变形树，注意严格意义上讲，它其实已经不是第六章定义的树了。在B树中，每一个元素在该树中只出现一次，有可能在叶子结点上，也有可能在分支结点上。而在B+树中，出现在分支结点中的元素会被当作它们在该分支结点位置的中序后继者（叶子结点）中再次列出。另外，每一个叶子结点都会保存一个指向后一叶子结点的指针。
散列表查找（哈希表）概述
那样我们可以通过查找关键字不需要比较就可获得需要的记录的存储位置。这就是一种新的存储技术——散列技术。 散列技术是在记录的存储位置和它的关键字之间建立一个确定的对应关系f，使得每个关键字key对应一个存储位置f（key）。查找时，根据这个确定的对应关系找到给定值key的映射f（key），若查找集合中存在这个记录，则必定在f（key）的位置上。
假设含有n个记录的序列为{r1,r2,......,rn}，其相应的关键字分别为{k1,k2,......,kn}，需确定1,2,......,n的一种排列p1,p2,......,pn，使其相应的关键字满足kp1≤kp2≤......≤kpn（非递减或非递增）关系，即使得序列成为一个按关键字有序的序列{rp1,rp2,......,rpn}，这样的操作就称为排序。
假设ki=kj(1≤i≤n,1≤j≤n,i≠j），且在排序前的序列中ri领先于rj（即i
辅助存储空间是除了存放待排序所占用的存储空间之外，执行算法所需要的其他存储
堆是具有下列性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（例如图9-7-2左图所示）；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（例如图9-7-2右图所示）。
要你相信自己一定可以学得会、学得好，既然无数人已经掌握了，你凭什么不行。
于每个链表来说，它所占用空间的大小和位置是不需要预先分配划定的，可以根据系统的情况和实际的需求即时生成。
事实上，使用这样的数据结构，通常都是当两个栈的空间需求有相反关系时，也就是一个栈增长时另一个栈在缩短的情况。就
栈的引入简化了程序设计的问题，划分了不同关注层次，使得思考范围缩小，更加聚焦于我们要解决的问题核心。反之，像数组等，因为要分散精力去考虑数组的下标增减等细节问题，反而掩盖了问题的本质。
在高级语言中，调用自己和其他函数并没有本质的不同。我们把一个直接调用自己或通过一系列的调用语句间接地调用自己的函数，称做递归函数。 当然，写递归程序最怕的就是陷入永不结束的无穷递归中，所以，每个递归定义必须至少有一个条件，满足时递归不再进行，即不再引用自身而是返回值退出。比如刚才的例子，总有一次递归会使得i<2的，这样就可以执行return i的语句而不用继续递归了。
后缀表达式：9 3 1-3*+10 2/+ 规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。
中缀表达式转后缀表达式
中缀表达式“9+(3-1)×3+10÷2”转化为后缀表达式“9 3 1-3*+10 2/+”。 规则：从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，若是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分；若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级不高于栈顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。
队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。 队列是一种先进先出（First In First Out）的线性表，简称FIFO。允许插入的一端称为队尾，允许删除的一端称为队头。
队列在程序设计中用得非常频繁。前面我们已经举了两个例子，再比如用键盘进行各种字母或数字的输入，到显示器上如记事本软件上的输出，其实就是队列的典型应用，
队列的链式存储结构及实现 队列的链式存储结构，其实就是线性表的单链表，只不过它只能尾进头出而已，我们把它简称为链队列。
队列的链式存储结构及实现 队列的链式存储结构，其实就是线性表的单链表，只不过它只能尾进头出而已，我们把它简称为链队列。为了操作上的方便，我们将队头指针指向链队列的头结点，而队尾指针指向终端结点，如图4-13-1所示。
栈（stack）是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。 队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。
事实上，串的比较是通过组成串的字符之间的编码来进行的，而字符的编码指的是字符在对应字符集中的序号。
计算机中的常用字符是使用标准的ASCII编码，更准确一点，由7位二进制数表示一个字符，总共可以表示128个字符。后来发现一些特殊符号的出现，128个不够用，于是扩展ASCII码由8位二进制数表示一个字符，总共可以表示256个字符，这已经足够满足以英语为主的语言和特殊符号进行输入、存储、输出等操作的字符需要了
因此后来就有了Unicode编码，比较常用的是由16位的二进制数表示一个字符，这样总共就可以表示2 16个字符，约是6.5万多个字符，足够表示世界上所有语言的所有字符了。当然，为了和ASCII码兼容，Unicode的前256个字符与ASCII码完全相同。
5.5.1 串的顺序存储结构 串的顺序存储结构是用一组地址连续的存储单元来存储串中的字符序列的。按照预定义的大小，为每个定义的串变量分配一个固定长度的存储区。一般是用定长数组来定义。
。 于是对于串的顺序存储，有一些变化，串值的存储空间可在程序执行过程中动态分配而得。比如在计算机中存在一个自由存储区，叫做“堆”。这个堆可由C语言的动态分配函数malloc()和free()来管理。
于是有三位前辈，D.E. Knuth、J.H. Morris和V.R. Pratt（其中Knuth和Pratt共同研究，Mor-ris独立研究）发表一个模式匹配算法，可以大大避免重复遍历的情况，我们把它称之为克努特—莫里斯—普拉特算法，简称KMP算法。
注意这里是理解KMP算法的关键。如果我们知道T串中首字符“a”与T中后面的字符均不相等（注意这是前提，如何判断后面再讲）。
串（string）是由零个或多个字符组成的有限序列，又名叫字符串。本质上，它是一种线性表的扩展，但相对于线性表关注一个个元素来说，我们对串这种结构更多的是关注它子串的应用问题，如查找、替换等操作。
树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n＞1时，其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
6.2 树的定义 之前我们一直在谈的是一对一的线性结构，可现实中，还有很多一对多的情况需要处理，所以我们需要研究这种一对多的数据结构——“树”，考
6.2.1 结点分类 树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（De-gree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。
简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。
不过充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。我们这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。
双亲表示法
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。它的结点结构为表6-4-1所示。
换一种完全不同的考虑方法。由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。不过，树的每个结点的度，也就是它的孩子个数是不同的。所以可以设计两种方案来解决。
这就是我们要讲的孩子表示法。具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，如图6-4-4所示。
孩子兄弟表示法 刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度考虑又会如何呢？当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。
二叉树的特点有： 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。就像人有双手、双脚，但显然左手、左脚和右手、右脚是不一样的，右手戴左手套、右脚穿左鞋都会极其别扭和难受。 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。图6-5-3中，树1和树2是同一棵树，但它们却是不同的二叉树。就好像你一不小心，摔伤了手，伤的是左手还是右手，对你的生活影响度是完全不同的。
二叉树具有五种基本形态： 1.空二叉树。 2.只有一个根结点。 3.根结点只有左子树。 4.根结点只有右子树。 5.根结点既有左子树又有右子树。
斜树
所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。
单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这就做到了整棵树的平衡。因此，满二叉树的特点有：（1）叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡。（2）非叶子结点的度一定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
完全二叉树 对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树，如图6-5-6所示。
二叉树性质1 性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i≥1）。
性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）。
性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2n+1|（|x|表示不大于x的最大整数）。
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有： 1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。 2．如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。 3．如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。 我们以图6-6-2为例，来理解这个性质。这是一个完全二叉树，深度为4，结点总数是10。
二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等。
前序遍历 规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如图6-8-2所示，遍历的顺序为：ABDGH-CEIF。
中序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。
．后序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。如图6-8-4所示，遍历的顺序为：
层序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。
我们可以考虑利用那些空地址，存放指向结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的地址。就好像GPS导航仪一样，我们开车的时候，哪怕我们对具体目的地的位置一无所知，但它每次都可以告诉我从当前位置的下一步应该走向哪里。这就是我们现在要研究的问题。我们把这种指向前驱和后继的指针称为线索，加上线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树（Threaded Binary Tree）。
故事是说联合利华引进了一条香皂包装生产线，结果发现这条生产线有个缺陷：常常会有盒子里没装入香皂。总不能把空盒子卖给顾客啊，他们只好请了一个学自动化的博士设计一个方案来分拣空的香皂盒。博士组织成立了一个十几人的科研攻关小组，综合采用了机械、微电子、自动化、X射线探测等技术，花了几十万，成功解决了问题。每当生产线上有空香皂盒通过，两旁的探测器会检测到，并且驱动一只机械手把空皂盒推走。 中国南方有个乡镇企业也买了同样的生产线，老板发现这个问题后大为光火，找了个小工来说：你把这个问题搞定，不然老子炒你鱿鱼。小工很快想出了办法：他在生产线旁边放了台风扇猛吹，空皂盒自然会被吹走。 这个故事在网上引起了很大的争议，我相信大家听完后也会有不少的想法。不过我在这只是想说，有很多复杂的问题都是可以有简单办法去处理的，在于你肯不肯动脑筋，在于你有没有创新。
在讲树的存储结构时，我们提到了树的孩子兄弟法可以将一棵树用二叉链表进行存储，所以借助二叉链表，树和二叉树可以相互进行转换。从物理结构来看，它们的二叉链表也是相同的，只是解释不太一样而已。因此，只要我们设定一定的规则，用二叉树来表示树，甚至表示森林都是可以的，森林与二叉树也可以互相进行转换。
赫夫曼树
最基本的压缩编码方法——赫夫曼编码。
赫夫曼大叔说，从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目称做路径长度。
如果考虑到带权的结点，结点的带权的路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。假设有n个权值{w1,w2,...,wn}，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wk，每个叶子的路径长度为lk，我们通常记作，则其中带权路径长度WPL最小的二叉树称做赫夫曼树。
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
对于图的定义，我们需要明确几个注意的地方。 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。那么对于图呢？我记得有一个笑话说一个小朋友拿着一张空白纸给别人却说这是他画的一幅“牛吃草”的画，“那草呢？”“草被牛吃光了。”“那牛呢？”“牛吃完草就走了呀。”之所以好笑是因为我们根本不认为一张空白纸算作画的。同样，在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合V有穷非空。 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。
无向边：若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对(vi,vj)来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图（Undirected graphs）。
有向边：若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。用有序偶
图7-2-5 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边，
顶点v的度（Degree）是和v相关联的边的数目，记为TD(v)。例如图7-2-8左侧上方的无向图，顶点A与B互为邻接点，边(A,B)依附于顶点A与B上，顶点A的度为3。而此图的边数是5，各个顶点度的和=3+2+3+2=10，推敲后发现，边数其实就是各顶点度数和的一半，多出的一半是因为重复两次记数。
对于有向图G=(V,{E})，如果弧
图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。 图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。 图上的边或弧上带权则称为网。 图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。 无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历（Depth_First_Search），也有称为深度优先搜索，简称为DFS。它的具体思想就如同我刚才提到的找钥匙方案，无论从哪一间房间开始都可以，比如主卧室，然后从房间的一个角开始，将房间内的墙角、床头柜、床上、床下、衣柜里、衣柜上、前面的电视柜等挨个寻找，做到不放过任何一个死角，所有的抽屉、储藏柜中全部都找遍，形象比喻就是翻个底朝天，然后再寻找下一间，直到找到为止。
广度优先遍历（Breadth_First_Search），又称为广度优先搜索，简称BFS。还是以找钥匙的例子为例。小孩子不太可能把钥匙丢到大衣柜顶上或厨房的油烟机里去，深度优先遍历意味着要彻底查找完一个房间才查找下一个房间，这未必是最佳方案。所以不妨先把家里的所有房间简单看一遍，看看钥匙是不是就放在很显眼的位置，如果全走一遍没有，再把小孩在每个房间玩得最多的地方或各个家俱的下面找一找，如果还是没有，那看一下每个房间的抽屉，这样一步步扩大查找的范围，直到找到为止。事实上，我在全屋查找的第二遍时就在抽水马桶后面的地板上找到了。
我们在讲图的定义和术语时，曾经提到过，一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。显然图7-6-2的三个方案都是图7-6-1的网图的生成树。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树（Minimum Cost SpanningTree）。 找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，……，vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在顶点vj之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。
查找： 查找（Searching）就是根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。
查找表按照操作方式来分有两大种：静态查找表和动态查找表。 静态查找表（Static Search Table）：只作查找操作的查找表。它的主要操作有：（1）查询某个“特定的”数据元素是否在查找表中。（2）检索某个“特定的”数据元素和各种属性。
动态查找表（Dynamic Search Table）：在查找过程中同时插入查找表中不存在的数据元素，或者从查找表中删除已经存在的某个数据元素。显然动态查找表的操作就是两个：（1）查找时插入数据元素。（2）查找时删除数据元素。
也就是mid等于最低下标low加上最高下标high与low的差的一半。算法科学家们考虑的就是将这个1/2进行改进，改进
数据结构的最终目的是提高数据的处理速度，索引是为了加快查找速度而设计的一种数据结构。索引就是把一个关键字与它对应的记录相关联的过程，一个索引由若干个索引项构成，每个索引项至少应包含关键字和其对应的记录在存储器中的位置等信息。索引技术是组织大型数据库以及磁盘文件的一种重要技术。
索引按照结构可以分为线性索引、树形索引和多级索引。我们这里就只介绍线性索引技术。所谓线性索引就是将索引项集合组织为线性结构，也称为索引表。我们重点介绍三种线性索引：稠密索引、分块索引和倒排索引。
稠密索引要应对的可能是成千上万的数据，因此对于稠密索引这个索引表来说，索引项一定是按照关键码有序的排列。
稠密索引因为索引项与数据集的记录个数相同，所以空间代价很大。为了减少索引项的个数，我们可以对数据集进行分块，使其分块有序，然后再对每一块建立一个索引项，从而减少索引项的个数。 分块有序，是把数据集的记录分成了若干块，并且这些块需要满足两个条件： 块内无序，即每一块内的记录不要求有序。当然，你如果能够让块内有序对查找来说更理想，不过这就要付出大量时间和空间的代价，因此通常我们不要求块内有序。 块间有序，例如，要求第二块所有记录的关键字均要大于第一块中所有记录的关键字，第三块的所有记录的关键字均要大于第二块的所有记录关键字……因为只有块间有序，才有可能在查找时带来效率。
大家可能都听过这个故事，说有两个年轻人正在深山中行走。忽然发现远处有一只老虎要冲过来，怎么办？其中一个赶忙弯腰系鞋带，另一个奇怪地问：“你系鞋带干什么？你不可能跑得比老虎还快。”系鞋带者说：“我有什么必要跑赢老虎呢？我只要跑得比你快就行了。”
真是交友不慎呀！别急，如果你的朋友是系鞋带者，你怎么办？ 后来老虎来了，系鞋带者拼命地跑，另一人则急中生智，爬到了树上。老虎在选择爬树还是追人之间，当然是会选择后者，于是结果……爬树者改变了跑的思想，这一改变何等重要，捡回了自己的一条命。
通常称它为二叉排序树。 二叉排序树（Binary Sort Tree），又称为二叉查找树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树。 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。 从二叉排序树的定义也可以知道，它前提是二叉树，然后它采用了递归的定义方法，再者，它的结点间满足一定的次序关系，左子树结点一定比其双亲结点小，右子树结点一定比其双亲结点大。 构造一棵二叉排序树的目的，其实并不是为了排序，而是为了提高查找和插入删除关键字的速度。不管怎么说，在一个有序数据集上的查找，速度总是要快于无序的数据集的，而二叉排序树这种非线性的结构
从平衡二叉树的英文名字，你也可以体会到，它是一种高度平衡的二叉排序树。那什么叫做高度平衡呢？意思是说，要么它是一棵空树，要么它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。我们将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF（Balance Factor），那么平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0和1。只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。
内存一般都是由硅制的存储芯片组成，这种技术的每一个存储单位代价都要比磁存储技术昂贵两个数量级，因此基于磁盘技术的外存，容量比内存的容量至少大两个数量级。
2-3树是这样的一棵多路查找树：其中的每一个结点都具有两个孩子（我们称它为2结点）或三个孩子（我们称它为3结点）。 一个2结点包含一个元素和两个孩子（或没有孩子），且与二叉排序树类似，左子树包含的元素小于该元素，右子树包含的元素大于该元素。不过，与二叉排序树不同的是，这个2结点要么没有孩子，要有就有两个，不能只有
2-3树是这样的一棵多路查找树：其中的每一个结点都具有两个孩子（我们称它为2结点）或三个孩子（我们称它为3结点）。 一个2结点包含一个元素和两个孩子（或没有孩子），且与二叉排序树类似，左子树包含的元素小于该元素，右子树包含的元素大于该元素。不过，与二叉排序树不同的是，这个2结点要么没有孩子，要有就有两个，不能只有一个孩子。
一个3结点包含一小一大两个元素和三个孩子（或没有孩子），一个3结点要么没有孩子，要么具有3个孩子。如果某个3结点有孩子的话，左子树包含小于较小元素的元素，右子树包含大于较大元素的元素，中间子树包含介于两元素之间的元素。
B树（B-tree）是一种平衡的多路查找树，2-3树和2-3-4树都是B树的特例。结点最大的孩子数目称为B树的阶（order），因此，2-3树是3阶B树，2-3-4树是4阶B树。 一个m阶的B树具有如下属性：
如果根结点不是叶结点，则其至少有两棵子树。 每一个非根的分支结点都有k-1个元素和k个孩子，其中。每一个叶子结点n都有k-1个元素，其中。 所有叶子结点都位于同一层次。 所有分支结点包含下列信息数据
B+树是应文件系统所需而出的一种B树的变形树，注意严格意义上讲，它其实已经不是第六章定义的树了。在B树中，每一个元素在该树中只出现一次，有可能在叶子结点上，也有可能在分支结点上。而在B+树中，出现在分支结点中的元素会被当作它们在该分支结点位置的中序后继者（叶子结点）中再次列出。另外，每一个叶子结点都会保存一个指向后一叶子结点的指针。
散列表查找（哈希表）概述
那样我们可以通过查找关键字不需要比较就可获得需要的记录的存储位置。这就是一种新的存储技术——散列技术。 散列技术是在记录的存储位置和它的关键字之间建立一个确定的对应关系f，使得每个关键字key对应一个存储位置f（key）。查找时，根据这个确定的对应关系找到给定值key的映射f（key），若查找集合中存在这个记录，则必定在f（key）的位置上。
假设含有n个记录的序列为{r1,r2,......,rn}，其相应的关键字分别为{k1,k2,......,kn}，需确定1,2,......,n的一种排列p1,p2,......,pn，使其相应的关键字满足kp1≤kp2≤......≤kpn（非递减或非递增）关系，即使得序列成为一个按关键字有序的序列{rp1,rp2,......,rpn}，这样的操作就称为排序。
假设ki=kj(1≤i≤n,1≤j≤n,i≠j），且在排序前的序列中ri领先于rj（即i
辅助存储空间是除了存放待排序所占用的存储空间之外，执行算法所需要的其他存储
堆是具有下列性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（例如图9-7-2左图所示）；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（例如图9-7-2右图所示）。