常用数据结构操作与算法复杂度总结

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时间复杂度

如何评估一个算法的计算时间？

一个算法的实际运行时间很难评估，当时的输入、CPU主频、内存、数据传输速度、是否有其他程序在抢占资源等等，这些因素都会影响算法的实际运行时间。为了公平地对比不同算法的效率，需要脱离开这些物理条件，抽象出一个数学描述。在所有这些因素中，问题的规模往往是决定算法时间的最主要因素。因此，定义算法的时间复杂度$T(n)$，用来描述算法的执行时间随着输入规模的增长将如何变化，增长速度是怎样的。

在输入规模较小时，运行时间本来就少，不同算法的差异不大。所以，时间复杂度通常关注的是输入规模$n$较大时运行时间的变化趋势，称之为渐进复杂度，采用大O记号，表示渐进上界，对于任意的$n>>2$，若有常数$c$和函数$f(n)$满足
$$T(n)\le c\cdot f(n)$$
则记作
$$T(n)=O(f(n))$$
可以简单地认为，$O(f(n))$表示运行时间与$f(n)$成正比，比如$O(n^2)$表示运行时间与输入规模的平方成正比，这样讲虽然并不严谨，但一般情况下无伤大雅。

**在$n$很大时，常数$c$变得无关紧要，不同算法间的比较主要关注$f(n)$部分的大小。**比如，在$n>>100$时，$n^2$要比$100n$大得多，因此重点关注$n^2$和$n$增长速度的差异即可。

不同时间复杂度的增长速度对比如下，图片来自Big-O Cheat Sheet Poster，

除了大$O$记号，还有大$\Omega$记号和$\Theta$记号，分别表示下界和确界，
$$\begin{gathered} \Omega (f(n)):c\cdot f(n)\le T(n) \\ \Theta (f(n)):c_1\cdot f(n)\le T(n)\le c_2\cdot f(n) \end{gathered}$$
他们的关系如下图所示，图片截自邓俊辉-数据结构C++描述第三版

常用数据结构操作与算法的复杂度

下面汇总摘录了常用数据结构操作和排序算法的复杂度，来源见引用。其中包含最坏时间复杂度、平均时间复杂度以及空间复杂度等，对于排序算法还含有最好时间复杂度。

附带上链接：

Array Stack Queue Singly-Linked List Doubly-Linked List Skip List Hash Table Binary Search Tree Cartesian Tree B-Tree Red-Black Tree Splay Tree AVL Tree KD Tree

Quicksort Mergesort Timsort Heapsort Bubble Sort Insertion Sort Selection Sort Tree Sort Shell Sort Bucket Sort Radix Sort Counting Sort Cubesort

以及 Data Structures in geeksforgeeks。

输入规模较小时的情况

渐进复杂度分析的是输入规模较大时的情况，输入规模较小时呢？

在输入规模较小时，就不能轻易地忽略掉常数$c$的作用，如下图所示，图片来自Growth Rates Review。复杂度增长快的在输入规模较小时可能会小于复杂度增长慢的。

所以在选择算法时，不能无脑上看起来更快的高级数据结构和算法，还得具体问题具体分析，因为高级数据结构和算法在实现时往往附带额外的计算开销，如果其带来的增益无法抵消掉隐含的代价，可能就会得不偿失。

这同时也给了我们在代码优化方向上的启示，

• 一是从$f(n)$上进行优化，比如使用更高级的算法和数据结构；
• 还有是对常数$c$进行优化，比如移除循环体中不必要的索引计算、重复计算等。

以上

引用

• Big-O Cheat Sheet Poster
• Know Thy Complexities
• 邓俊辉-数据结构C++描述第三版
• Growth Rates Review