[非线性最优化方法]（牛顿法、LM方法）（未完）

非线性最优化方法

引言

最优化的问题的一般形式为：
$$\min f(\mathbf{x}),s.t.\mathbf{x}\in X$$
$f(\mathbf{x})$为目标函数，$\mathbf{X}\in {\mathbf{E}}^{\mathbf{n}}$

非线性特点：

• 不是线性
• 复杂弯曲
• 没有通解

无约束问题的最优条件：
$\min f(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in R^n$的最优性条件：
设$g(x)=\nabla f(x),G(x)=\Delta f(x)$分别为$f$的一阶和二阶导数。
定理（一阶必要条件）：设$f:D\subset R^n\to R^1$在开集$D$上连续可微，若$x^{\ast }\in D$是局部极小点，则$g(x^{\ast })=0.$
定理（二阶必要条件）：设$f:D\subset R^n\to R^1$在开集$D$上二阶连续可微，若$x^{\ast }\in D$是局部极小点，则$g(x^{\ast })=0,G(x^{\ast })\ge 0$

• 迭代优化方法的基本思想

1. 给定一个初始点$x_0$,
2. 按照某一迭代规则产生一个点列$\{x_k\}$, 使得
   当$\{x_k\}$是有穷点列时，其最后一个点是最优化模型问题的最优解。
   当$\{x_k\}$是无穷点列时，其极限点为最优解。

• 最优化方法的结构：
  给定初始点${\mathbf{x}}_0$

1. 确定搜索方向${\mathbf{d}}_k$，即依照一定规则构造$f$在${\mathbf{x}}_k$点处的下降方向为搜索方向
2. 确定步长因子${\alpha }_k$，使目标函数值有某种意义下降
3. 令${\mathbf{x}}_{k+1}={\mathbf{x}}_k+{\alpha }_k{\mathbf{d}}_k$
   若${\mathbf{x}}_{k+1}$满足某种终止条件，则停止迭代，得到近似最优解，否则重复以上步骤。

• 一个好的算法应具备的典型特征为:

1. 迭代点$x_k$能稳定地接近局部极小点x*的邻域，然后迅速收敛于$x_k$ ;
2. 当给定的某种收敛准则满足时，迭代即终止。

收敛速度：
一般认为，具有超线性和二阶收敛速度的方法是比较快速的。

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一维搜索

1. 确定包含问题最优解的搜索区间
2. 再用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进
   行搜索求解

• 搜索区间:包含最优值的闭区间。
• 确定搜索区间的简单方法——进退法。
  • 从一点出发，试图确定出函数值呈现“高-低-高” 的三点。一个方向不成功，就退回来，再沿相反方向寻找。

改进

• 实际上所遇到的函数不一定是单峰函数，这时搜索出的值有可能大于初始区间的端点值。
• 改进:每次缩小区间时，不只比较两个内点处的函数值，而是比较两个内点和两个端点处的函数值:
  • 当左边第一个或第二个点是这四个点中函数值最小的点时，丢弃 右端点;
  • 否则，丢弃左端点。

0.618 法

Fibonacci法

插值法

插值法是一类重要的搜索方法，其基本思想是:

• 在搜索区间中不断用低次(通常不超过三次)多项式来近似目标函数，并逐步用插值多项式的极小点来逼近一维搜索问题的极小点。
• 当函数具有比较好的解析性质时，插值方法比直接方法(0.618 法或Fibonacci法)效果更好。

二次插值法:

• 一点二次插值(牛顿法)
  • 利用一点处的函数值、一阶和二阶导数值构造二次插值函数。牛顿法的优点是收敛速度快，具有局部二阶收敛速度。
• 二点二次插值法
  • 给出两点的函数值和其中一点的导数值，构造二次插值函数。二点二次插值法的收敛阶为1.618，超线性收敛。
• 三点二次法(抛物线法)
• 二点三次插值法
  ……

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牛顿型方法

1. 最速下降法

以负梯度方向作为极小化算法的搜索方向，即
${\mathbf{d}}_k=-{\mathbf{g}}_k$

• 具有总体收敛性：
  产生的迭代点列的每一个聚点都是平稳点。
• 最速下降方向仅是局部性质
  对于许多问题并非下降方向，而且下降非常缓慢；
  接近极小点时，步长越小前进越缓慢。

2. 牛顿法

• 基本思想
  利用目标函数的二次Taylor展开，并将其极小化。
  函数 $f(x)$ 在$x_k$处的二次Taylor展开为：
  $$f(x_k+s)\approx q^{(k)}(s)=f(x_k)+\nabla f(x_x{)}^{T}s+\frac{1}{2}{s}^T{\nabla }^{2}f(x_k)s$$
  其中 $s=x-x_k$，将$q^{(k)}(s)极小化，得到$
  $$x_{k+1}=x_k-[{\nabla }^{2}f(x_k){]}^{-1}\nabla f(x_x)=x_k-G_k^{-1}{g}_k$$

• 对于正定二次函数，一步即可得最优解。

• 由于目标函数在极点附近近似于二次函数，所以在初始点接近极小点时，牛顿法收敛速度较快。

• 牛顿法具有局部收敛性，为二阶收敛。

正定二次函数：
正定二次函数(positive definite quadratic function)是系数矩阵为对称正定矩阵的二次函数。设$x\in R_n$，$A$为$n\times n$对称正定矩阵，$b\in R_n$为常向量，$c$为常数，则二次函数$f(x)=\frac{1}{2}{x}^{T}Ax+b^{T}x+c$称为正定二次函数。

正定矩阵：
一个$n\times n$的实对称矩阵$M$是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量$z$，都有$z^{T}Mz>0$。其中$z^T$表示$z$的转置。

• 牛顿法适用于初始点距离最优解很近的情况下，当初始解远离最优解时，$G_k$不一定是正定的，则牛顿方向不一定为下降方向，其收敛性不能保证。
• 说明恒取步长因子为1不合适，应采用一维搜索。（仅当步长因子{${\alpha }_k$}收敛1时，牛顿法才是二阶收敛的。迭代公式：
  $$d_k=-G_k^{-1}{g}_k,X_{k+1}=X_k+{\alpha }_k{d}_k$$
• 带步长因子的牛顿法是总体收敛的。

修正牛顿法

Gill-Murray稳定牛顿法

Goldfeld修正牛顿法

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3.信赖域方法

• 不仅可以用来代替一维搜索，而且也可以解决Hessen矩阵不正定等困难。

• 主要思想：

  • 首选选择一个步长r，使得在$||\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_k||<r$范围内（信赖域）
  • 目标函数用n维二次模型来逼近，并以此选择一个搜索方向${\mathbf{s}}_{\mathbf{k}}$，取${\mathbf{x}}_{\mathbf{k}+1}={\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}+{\mathbf{s}}_{\mathbf{k}}$

• 具有牛顿法的快速局部收敛性，又具有理想的总体收敛性。

Levenberg-Marquardt方法

• 最重要的一类的信赖域是取$l_2$范数，此时原模型等效于
  $$min{q}^{(k)}(\mathbf{s})=f_k+{\mathbf{g}}_k^T\mathbf{s}+\frac{1}{2}{\mathbf{s}}^T{G}_k\mathbf{s},s.t.||\mathbf{s}|{|}_2\le h_k$$
  引入$Lagrange$函数
  $$L(\mathbf{s},\mu )=q^{(k)}(\mathbf{s})+\frac{1}{2}\mu ({\mathbf{s}}^T\mathbf{s}-h_k^2)$$
  根据约束最优化的最优性条件知：
  $${\nabla }_{s}L=0,\mu \ge 0$$
  从而推出
  $$L(\mathbf{s},{\mu }_k)=q^{(k)}({\mathbf{s}}_k)+\frac{1}{2}(\mathbf{s}-{\mathbf{s}}_k{)}^T(G_k+{\mu }_{k}I)(s-s_k)$$

• 可以证明：
  总体解的二阶必要条件为$(G_k+{\mu }_{k}I)$半正定。
  总体解严格最小的充分条件为$(G_k+{\mu }_{k}I)$正定。
  因此，LM方法都是要确定一个${\mu }_k\ge 0$，使得$(G_k+{\mu }_{k}I)$正定，并用${\nabla }_{s}L=0$求解${\mathbf{s}}_k$。同时可以证明$||\mathbf{s}|{|}_2$随$\mu$单调减小。

• 算法步骤

1. 给定初始点$x_0,{\mu }_0>0,k=1$
2. 计算$g_k$和$G_k$
3. 若$||g_k||<ϵ$，停止
4. 分解$G_K+{\mu }_{k}I$，若不正定，置${\mu }_k=4{\mu }_k$，重复4直到正定
5. 解$(G_k+{\mu }_{k}I)s=-g_k$，求出$s_k$
6. 求$f(x_k+s_k),q^{(k)}(s_k)$和$r_k=\frac{△f_k}{△q^{(k)}}$
7. 若$r_k<0.25$，置${\mu }_{k+1}=4{\mu }_k$；若$r_k>0.75$，置${\mu }_{k+1}={\mu }_k/2$；否则，${\mu }_{k+1}={\mu }_k$
8. 若$r_k\le 0$，置$x_{k+1}=x_k+s_k$
9. 令k=k+1，转2

LM方法比较适合于x维度不高的非线性函数优化。

（未完待续）