第一天__命题逻辑和证明

1.1命题

1.1.1命题

1.命题是推理的基本单位
2.命题是一个具有确切真值的陈述句
3.没有判断内容的句子(感叹句,命令句,疑问句)都不是命题
如: x+3=5
4.不能用简单的命题来表示的命题称为原子命题
5.复合命题:用逻辑运算符组合而来的新命题称为复合命题
6.命题变量(语句变量):通常用p,q,s…

1.1.2联结词( ()优先级小于¬ )

注:
蕴含联结词 : 若前件为假,则无论后件怎么样,整个命题都为真
若使用除非…否则… 除非(前件)…否则(后件)
等价联结词: p←→q 同真同假为真

1.1.3逻辑运算符的优先级

1.2命题公式和真值表

1.2.1命题变元

说明:
1.一个特定的命题是一个 常值命题
2.命题变量就是命题变元
3.复合命题:由 原子命题 和 联结词 构成的命题
2.真值函数(命题公式):就是复合命题 (其中原子命题为命题变元) 也即为 命题变元的函数

1.2.2命题公式(通常用G表示)

说明:

1.原子公式(原子合式公式):原子命题变元是最简单的合式公式
2.命题变元没有真值,只有对其命题变元进行真值指派,才能确定公式的真值
3.命题变元本身是一个公式

1.2.3公式的解释(用 I 表示)

1.定义

2.例题

3.说明

成真赋值：如果公式G在解释I下是真的,则称I满足G,此时I是G的成真赋值
成假赋值:如果公式G在解释I下是假的,则称I弄假于G,此时I是G的成假赋值

1.2.4真值表

1.定义

由公式G在其所有可能的解释下所取真值构成的表,称为G的真值表

2.说明

一般来说,若有n个变元,则应有2^n个不同的解释
利用真值表,可得到公式的所有成真赋值和成假赋值

3.真值表的画法

命题变元放在真值表的左边,公式的结果放在真值表的右边,并且可以把中间的结果省略.
如下例题的中间部分

1.3公式分类和逻辑等价

1.3.1命题公式的分类

1.定义：

永真公式(重言式): 在它所有解释下其真值都为真
永假公式(矛盾式):在它所有解释下其真值都为假,也称不可满足式
可满足式: 真值有真有假

2.三种公式之间的关系

1.3.2公式的等价

1.定义

2.等价公式的充分必要条件

对于任意两个公式G和H , G=H的充分必要条件是公式G←→H是永真公式

3.公式的可判定性

1.可判定性:能否给出一个 可行方法 ,完成对任意公式的判定类问题
2.命题公式是可判定的

1.4基本等价关系及其应用

1.4.1基本等价关系

1.4.2判断公式类型

解题思路:
通常先使用蕴含式,然后再运用德摩根律… 将命题公式化为最简式

1.4.3证明公式等价

1.4.4开关电路化简

1.4.5逻辑电路化简

1.4.6智力游戏