深入浅出讲解麦克斯韦方程组
夏RICHI、许多多、知乎用户 等人赞同
花了好长好长时间写的，请不要转载。还有几个有意思的话题还没有涉及，以后有空再更新。
11/7更新：上了知乎日报，瞬间过了500赞！希望大家都能有所收获！更新了梯度和电荷守恒的一些内容。可能答案已经太长了，能看到结尾的人应该少之又少吧。。。
11/4更新：过200赞了！更新了方向性的讨论，还有所有省略的公式，供感兴趣的同学查看。
11/2更新：过百赞了！谢谢大家支持！更新了微分形式的解释、和电磁波的话题。
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题主简直坑爹。不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组？你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。
1. 力、能、场、势
经典物理研究的一个重要对象就是 力force。比如牛顿力学的核心就是 F=m a这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个 向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。 能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个 标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了 场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着 F=q( E+ v× B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是 势potential。
一张图表明关系：
积分
力－－－＞能
｜ ｜
场＜－－－势
微分
具体需要指出，这里的电场（标为 E）和磁场（标为 B）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在3<->1个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？
一个显而易见的答案是 “保守力场”conservative force field。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场 F（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作 F=- ∇V。这里不说具体细节，你只要知道 ∇是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做 算符operator）。
那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了 “向量势”vector potential，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。
总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。
2. 麦克斯韦方程组
前边说到， 麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有 积分形式和 微分形式两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。
积分形式：
微分形式：
这里 E表示电场， B表示磁场，ε0和μ0只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中Q是电荷，I是电流，V表示一块体积，∂V表示它的表面，而S表示一块曲面，∂S表示它的边缘。微分形式中ρ是电荷密度（电荷/体积）， J是电流密度（电流/面积）， ∇·和 ∇×是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。
先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场 E的，两个是关于磁场 B的；两个是曲面积分∫d a或者散度 ∇·，两个是曲线积分∫d l或者旋度 ∇×。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。
3. 电荷->电场，电流->磁场
这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。
我们从两个电荷之间的库仑力讲起。 库仑定律Coulomb's Law是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：
其中Q是电荷，r是电荷之间的距离， r是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。
高中里应该还学过 安培定律Ampere's Law，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做 毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做 高斯定律Gauss's Law。这四个定律之间有如下关系：
电场 磁场
两个微小来源之间的力 库仑定律 毕奥-萨伐尔定律
单个来源产生的场 高斯定律 安培定律
数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：
高斯定律（积分、微分形式）：
安培定律（积分、微分形式）：
我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场 E（磁场 B），而右边有电荷Q（电流I）或电荷密度ρ（电流密度 J）。看， 电荷产生电场，电流产生磁场！
4. 变化磁场->电场，变化磁场->电场
然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是 法拉第定律Faraday's Law。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为 安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：
法拉第定律（积分、微分形式）：
安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：
同样地，等式的左边有电场 E（磁场 B），而右边有磁场 B（电场 E）的导数d/dt或偏导∂/∂t。看， 变化磁场产生电场，变化电场产生磁场！
需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。
小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。
5. 向量积分
普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长x乘宽y，即xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽=y(x)），那么我们就需要积分，记为“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积V内，若电荷密度为ρ，那么这块体积内的总电荷就是Q=ρV；如果ρ在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数ρ(x)，那么就要变成积分Q=∫∫∫ρ(x)dV（这里三个∫表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个∫）。
在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用 点乘dot product，即 u·v，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果 u和 v完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积V，我们可以只积一个曲面S或者一条曲线γ。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。
曲面积分surface integral有如下形式：
其中S表示我们需要积的曲面， F是我们想要积的向量场， ·代表点乘， a指向垂直于S的方向。因此，我们看到，如果 F和S是平行的，那么点乘处处得0，这个曲面积分也为0。换句话说， 曲面积分表示着向量场F穿过曲面S的程度，因此也很形象地叫做 通量flux。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲面所在的位置）：
曲面积分（通量）为0：
→ → → → →
--------------------
→ → → → →
曲面积分（通量）不为0：
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
--------------------
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
那么 曲线积分line integral也很类似，只不过我们不积一个曲面S而是一个一维的曲线γ。它有如下形式：
其中γ表示我们需要积的曲线， ·代表点乘， l指向曲线γ的方向。不难看出， 曲线积分表示着向量场F沿着曲线γ的程度。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲线γ）：
曲线积分不为0：
→ → → → →
--------------------
→ → → → →
曲线积分为0：
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
--------------------
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号∫上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做 环量circulation，因为是积了一个环嘛。很显然，如果 F是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0（这就是保守力场的定义啊），所以 保守力场的任意环量都为0。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。
定义一个通量所使用的曲面S则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号∫∫上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。
总结如下表：
曲面积分 曲线积分
表示向量场 通过曲面 沿着曲线 的程度
又叫做 通量 －－
若为闭合 －－ 环量
6. 麦克斯韦方程组的积分形式
我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。
(1) 高斯定律： 电场 E在闭合曲面∂V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V内的电荷（乘上系数1/ε0）；
(2) 法拉第定律： 电场 E在闭合曲线∂S上的环量，等于磁场 B在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数-1）；
(3) 高斯磁定律： 磁场 B在闭合曲面∂V上的通量，等于0；
(4) 安培麦克斯韦定律：磁场 B在闭合曲线∂S上的环量，等于该曲线环住的曲面S里的电流（乘上系数μ0），加上电场 E在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数μ0ε0）。
虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。
(1) 高斯定律：
例子1：假设我们有一个点电荷Q，以其为球心作一个球，把这块体积称为V，那么∂V就是这个球的表面。这个电荷Q产生了一些电场，从中心的Q向外发射，显然电场线都穿过了球的表面∂V，所以“闭合曲面∂V的通量”是个正数，不为0，而“该曲面包裹住的电荷”为Q，也不为0。
例子2：假设我们把电荷Q替换为-Q，那么所有的电场线方向都反过来了，∂V的通量（记得通量中的点乘吗？）也因此获得了一个负号，所以“闭合曲面∂V的通量”变成了负数，而“该曲面包裹住的电荷”为-Q，也变成了负数。等式再一次成立。
例子3：假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍，这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时，由于库仑力的反比平方定律，由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍，在球表面∂V的电场强度也变成了原来的1/4。通量（电场和面积的积分）获得一个系数4，又获得一个系数1/4，所以“闭合曲面∂V的通量”没有变，而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为Q，也没有变。
例子4：事实上，我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积，算出来的通量都不会变（尽管会非常难算），因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。
例子5：假设我们把电荷移到这个曲面外面，那么电场线会从这个球的一面穿透进去，然后从另一面出来，所以当我们做积分的时候，两个方向的通量抵消了，整个“闭合曲面∂V的通量”为0，而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷，所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。
(2) 法拉第定律：
例子6：一圈闭合导线，环住了一块曲面S，则记这个曲线的位置为∂S，那么经过∂S的电场 E的环量其实就是导线内的电势（电压）。垂直于S通过一些磁场 B，则通过S的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流，也就是说，并没有电压，“闭合曲线∂S的环量”为0。这是很显然的，因为磁通量并没有变化，没有电磁感应，换句话说，“曲面S上的通量的变化率”为0。
例子7：这个时候我突然增加磁场，所以磁通量变大了，“磁通量的变化率”为正，不为0。因此，等式的左边“闭合曲线∂S的环量”也为正，不为0，也就是说，导线内产生了一些电压，继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。
例子8：如果我不是增加磁场，而是减小磁场，那么磁通量变小了，“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线∂S的环量”也获得了一个负号，换句话说，感应电流的方向反了过来。
(3) 高斯磁定律：
例子9：随便选择一个闭合曲面，整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同，因此说明，不像有可以产生电场的“电荷”，这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”（也就是“磁单极子”）的。
(4) 安培-麦克斯韦定律：
例子10：假设我们有一个电流I，以其为轴作一个圆，把这个圆称为S，那么∂S就是这个圆的边缘。这个电流I产生了一些磁场，（按照右手定则）绕着导线。显然磁场线和∂S都是“绕着导线”，方向一致，所以“闭合曲线∂S的环量”是个正数，不为0，而“该曲线环住的电流”为I，也不为0。
例子11：假设我们改变电流方向，即把I变成-I，那么所有的磁场线方向都反过来了，∂S的环量也因此获得了一个负号，所以“闭合曲线∂S的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。
例子12：和高斯定律很像，我们随便怎么改变这一个环的大小、面积，只要环住的电流不变，算出来的环量都不会变（尽管可能会非常难算）。而若电流在这个环外面，尽管仍然有磁场存在，但在计算环量时相互抵消，使得等式两边都变成0。
例子13：“变化的电场产生磁场”（即第二项）的例子非常难找，这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述，读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。
最后，还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗？显然，要想让磁场的环量为0，那就只能既没有电流（方程(4)中的第一项），也没有变化的电通量（第二项），那么磁场只能为0。换言之，任何磁场都不是保守力场。想让电场的通量为0还比较简单，只需要令磁通量不变（方程(2)）就好了。换言之，只有在静电学（电磁场均静止不变）中，静电场才是保守力场。
7. 向量微分
麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象，从每个方程的名字也可以看出，方程组总结、整合了前人（库仑、高斯、安培、法拉第等）发现的各种现象和其方程（在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个），而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起，用短短四个公式涵盖了所有现象，非常了不起。然而平心而论，积分形式仍然显得颇为繁琐，原因有二：1. 积分是很难算的，虽然每一个方程的左右两边都必然相等，但随便给你一个场和一个曲面/曲线，想把左侧的积分算出来极为困难；2. 也正因为如此，我们尽管有可以描述电磁场的方程，但给定一个特定的来源（比如天线中一个来回摇摆的电荷），我们想算出具体的 E和 B也是极为困难，因为我们只知道E和B在某个特殊曲面/曲线上的积分。
这就是微分形式的好处。首先，计算一个给定向量场的微分（散度和旋度）是很简单的，只要使用之前提到过的 ∇·和 ∇×算符就好，而这两个算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度，有着非常直接的几何意义，从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然，我们又需要再准备一些向量微积分的知识，其中的重点就是散度和旋度。
散度divergence，顾名思义，是 指一个向量场发散的程度。一个向量场 F的散度是一个标量场（向量场的每一点有一个自己的散度），写作 ∇·F（这个写法也很直白，因为点乘就是标量）。如果一个点的散度为正，那么在这一点上 F有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上 F有向内收敛的趋势。
旋度curl则 指一个向量场旋转的程度。一个向量场 F的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作 ∇×F（这个写法也很直白，因为叉乘就是向量）。如果一个点的旋度不为0，那么在这一点上 F有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。
举些例子，以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散，但完全没有旋转扭曲的趋势；第二个向量场形成了一个标准的漩涡，但没有任何箭头在往外或往里指，没有发散或收敛的趋势。（显然这两个图都是用字符直接画的；大家凑合着看，有空我再搞张好看点的图）
散度不为0、但旋度为0的向量场：
↖ ↑ ↗
← · →
↙ ↓ ↘
旋度不为0、但散度为0的向量场：
↗ → ↘
↑ · ↓
↖ ← ↙
因此，如你所见，散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度，我们就可以唯一确定这个向量场本身（这是亥姆霍兹定理，我要是有兴致可以以后简单谈谈）。
麦克斯韦方程组的微分形式，就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到，微分形式和积分形式是完全等价的，我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。
高斯定理Gauss's Theorem：一个向量场 F在闭合曲面∂V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V里的 F全部的散度（ F的散度的体积积分）。这是可以想象的，毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了，也就是总共的散度（散度的积分）。
斯托克斯定理Stokes' Theorem：一个向量场 F在闭合曲线∂S上的环量，等于该曲线环住的曲面S上的 F全部的旋度（ F的旋度的曲面积分）。这也是可以想象的，毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样（有多少场在沿着这个环旋转），也就是总共的旋度（旋度的积分）。
总结如下表：
曲面积分 曲线积分
积分形式 通量 环量
联系 高斯定理 斯托克斯定理
微分形式 散度 旋度
8. 麦克斯韦方程组的微分形式
了解了散度和旋度的概念之后，我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。
(1) 高斯定律： 电场 E的散度，等于在该点的电荷密度ρ（乘上系数1/ε0）；
(2) 法拉第定律： 电场 E的旋度，等于在该点的磁场 B的变化率（乘上系数-1）；
(3) 高斯磁定律： 磁场 B的散度，等于0；
(4) 安培麦克斯韦定律：磁场 B的旋度，等于在该点的电流密度 J（乘上系数μ0），加上在该点的电场 E的变化率（乘上系数μ0ε0）。
我们可以看出，电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的：电荷的作用是给电场贡献一些散度，而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的，都是给对方贡献一些旋度。
想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举，因为微分形式主要是让计算更加简便，在数学上比较有优势，而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过，至少静电磁场的例子还是可以举的。比如，我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷，这正是在说电场的散度在正电荷处为正，在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流，而不会进入或发源于电流，这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。
9. 电磁波
我刚刚提到，微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便，我现在就给一个例子，也就是著名的光速。想象我们在真空中，周围什么都没有。这个时候，显然电荷密度和电流密度均为0，所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了：
这四个公式简直太对称了！而且它们的含义也很清晰，基本就是说，变化的电场产生磁场，而变化的磁场产生电场。这就是 电磁波electromagnetic wave的方程，电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。
想要具体解出这个方程的解，还是需要玩儿一会儿微积分的，但是我们注意到两个式子分别有系数-1和μ0ε0。如果你了解波动方程的话，从这两个系数就可以算出这个波传播的速度，为
然而！μ0和ε0这两个常数是真空的性质（分别叫做 真空电容率vacuum permittivity和 真空磁导率vacuum permeability），是个定值。换句话说， 电磁波传播的速度（光速）也是一个定值！也就是说，在任何参考系里观察，光速都应该是一样的c！这根据伽利略速度相加原理是不可能的（静止的你认为火车的速度是50 m/s，那么如果你以1 m/s的速度往前走你就会认为火车的速度只有49 m/s，显然不会仍然是50 m/s），但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐，这就是相对论的由来了。
10. 方向性
可能有同学已经发现，我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候，出现了各种左手、右手定则（插一句，请一定一定忘掉左手定则，使用左手简直反人类，在正统的向量微积分和电磁学里 只有右手定则）。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中，我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗？
答案是肯定的。方向或者说手性（为什么是“右手”定则而不是“左手”定则？）来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘 u×v是一个向量，指的方向是垂直于 u和 v的方向；但显然有两个不同的方向均满足这个条件，而我们选择了其中特定的一个，把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地，一个曲面S也有两个方向（即其微分元素d a是向量）。注意到曲线积分也是有方向性的（即其微分元素d l也是向量），因此我们把S的d a和∂S的d l联系起来，这个联系的规则也叫做“右手定则”。
上面这些情况中，选择“右手”是非常随意的；原则上我也可以全部选择左手，那么我得到的数学体系和原来的是完全等价的。当然，磁场 B会和原来的磁场指的方向完全相反，但是没有关系，因为我们又不能直接看到磁场，所有的定律的手性都变了之后，描述的物理是不变的。但是，选择右手是约定俗成的，也就没必要再纠结为什么了。
11. 梯度、二次导数
我在之前说到保守力场的时候，偷偷塞进来过这样一个式子： F=- ∇V。这里 F是个向量场，V是个标量场。我们看到，这个神奇的倒三角不但可以表示散度（把向量变成标量）和旋度（把向量变成向量），还可以这样把一个标量场变成一个向量场！数学上这个倒三角叫 Nabla算符，而 ∇V叫做一个标量场V的梯度。
什么叫做梯度呢？其实相比于散度和旋度，这应该是更加熟悉的概念。 梯度gradient就是 一个标量场变化的程度。我们可以把一个标量场想象成一个山坡，每一点的梯度是一个向量，指的方向是上坡的方向，大小则是坡的陡峭程度。
总结一下我们见到的三种向量微分吧：
梯度 散度 旋度
作用在一个 标量 向量 向量 场上
表示这个场 变化 发散 旋转 的程度
得到一个 向量 标量 向量 场
写作 ∇V ∇·F∇×F
于是从 F=- ∇V这个公式我们看到，保守力场（比如引力场）可以表示为某个标量场（比如引力势能）的梯度。之前说过，保守力场的环量/旋度一定为0。这也就是说，梯度的旋度一定为0。这是可以想象的，梯度指的是上坡的方向，而如果它有旋度，就意味着它们的指向可以形成的一个环，在这个环上可以一直上坡。这就像彭罗斯楼梯，是不可能的情形。
还有一个类似的定理，是说旋度的散度一定为0。我们也来想一下几何上这意味着什么。如果旋度有散度，就意味着在某个球上散度都在往球外指，也就意味着在球上每个点这个场都是逆时针旋转的。想想也知道这是不可能的。所以我们得到了两个重要的结论：
1. 任意标量场V的梯度∇V都是没有旋度的，也就是∇×(∇V)=0；
2. 任意向量场F的旋度∇×F都是没有散度的，也就是∇·(∇×F)=0。
我说过，这些“X度”都可以认为是场的一种微分，那么这些“X度的X度”就可以认为是二次导数了。我们看到，有两种二次导数都自动为0，不必我们深究。还有一种二次导数也很有名，也就是梯度的散度，它甚至有了一个专门的花哨的名字，叫 “拉普拉斯算符”Laplacian。在此我不作展开，大家只要知道它挺重要的就行。
12. 电荷守恒
从麦克斯韦方程组中可以直接推出电荷守恒。这个推导十分简单，且颇为有趣，可以让大家看到向量微积分的方便之处，我就简要写一下：
首先我们有安培-麦克斯韦定律：
两边同时取散度：
注意到左边是磁场的旋度的散度，而旋度的散度一定为0，故左边为0。右边交换散度和时间导数，并约掉μ0，得：
使用高斯定律：
代入原式，约掉ε0，得：
这个就是电荷守恒的公式。用语言说，就是 电流密度的散度加上电荷密度的变化率一定为0。如果这比较抽象，我们可以对两项同时体积积分，再对 J那项使用高斯定律变成面积积分，则结论变成：
一块体积V内的电荷的变化率加上通过表面∂V的电流一定为0。
举个栗子，如果一块体积内的电荷Q变少了，其变化率为负，根据上述结论，通过表面的电流一定为正，也就是说有电流从这块体积内流出去了。这就是非常明显的电荷守恒了，给出了电荷和电流的关系，这个公式也叫 “连续性方程”continuity equation。连续性方程在流体力学里十分重要，甚至在量子力学里的概率也遵守这个方程（电荷->概率，电流->概率流）。
S1. 附录：省略掉的各种公式和定义
库仑定律：
毕奥-萨伐尔定律：
Nabla算符：
梯度：
散度：
旋度：
高斯定理：
斯托克斯定理：
真空中的电磁波：
11/7更新：上了知乎日报，瞬间过了500赞！希望大家都能有所收获！更新了梯度和电荷守恒的一些内容。可能答案已经太长了，能看到结尾的人应该少之又少吧。。。
11/4更新：过200赞了！更新了方向性的讨论，还有所有省略的公式，供感兴趣的同学查看。
11/2更新：过百赞了！谢谢大家支持！更新了微分形式的解释、和电磁波的话题。
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题主简直坑爹。不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组？你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。
1. 力、能、场、势
经典物理研究的一个重要对象就是 力force。比如牛顿力学的核心就是 F=m a这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个 向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。 能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个 标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了 场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着 F=q( E+ v× B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是 势potential。
一张图表明关系：
积分
力－－－＞能
｜ ｜
场＜－－－势
微分
具体需要指出，这里的电场（标为 E）和磁场（标为 B）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在3<->1个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？
一个显而易见的答案是 “保守力场”conservative force field。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场 F（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作 F=- ∇V。这里不说具体细节，你只要知道 ∇是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做 算符operator）。
那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了 “向量势”vector potential，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。
总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。
2. 麦克斯韦方程组
前边说到， 麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有 积分形式和 微分形式两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。
积分形式：
微分形式：
这里 E表示电场， B表示磁场，ε0和μ0只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中Q是电荷，I是电流，V表示一块体积，∂V表示它的表面，而S表示一块曲面，∂S表示它的边缘。微分形式中ρ是电荷密度（电荷/体积）， J是电流密度（电流/面积）， ∇·和 ∇×是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。
先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场 E的，两个是关于磁场 B的；两个是曲面积分∫d a或者散度 ∇·，两个是曲线积分∫d l或者旋度 ∇×。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。
3. 电荷->电场，电流->磁场
这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。
我们从两个电荷之间的库仑力讲起。 库仑定律Coulomb's Law是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：
其中Q是电荷，r是电荷之间的距离， r是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。
高中里应该还学过 安培定律Ampere's Law，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做 毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做 高斯定律Gauss's Law。这四个定律之间有如下关系：
电场 磁场
两个微小来源之间的力 库仑定律 毕奥-萨伐尔定律
单个来源产生的场 高斯定律 安培定律
数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：
高斯定律（积分、微分形式）：
安培定律（积分、微分形式）：
我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场 E（磁场 B），而右边有电荷Q（电流I）或电荷密度ρ（电流密度 J）。看， 电荷产生电场，电流产生磁场！
4. 变化磁场->电场，变化磁场->电场
然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是 法拉第定律Faraday's Law。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为 安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：
法拉第定律（积分、微分形式）：
安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：
同样地，等式的左边有电场 E（磁场 B），而右边有磁场 B（电场 E）的导数d/dt或偏导∂/∂t。看， 变化磁场产生电场，变化电场产生磁场！
需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。
小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。
5. 向量积分
普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长x乘宽y，即xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽=y(x)），那么我们就需要积分，记为“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积V内，若电荷密度为ρ，那么这块体积内的总电荷就是Q=ρV；如果ρ在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数ρ(x)，那么就要变成积分Q=∫∫∫ρ(x)dV（这里三个∫表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个∫）。
在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用 点乘dot product，即 u·v，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果 u和 v完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积V，我们可以只积一个曲面S或者一条曲线γ。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。
曲面积分surface integral有如下形式：
其中S表示我们需要积的曲面， F是我们想要积的向量场， ·代表点乘， a指向垂直于S的方向。因此，我们看到，如果 F和S是平行的，那么点乘处处得0，这个曲面积分也为0。换句话说， 曲面积分表示着向量场F穿过曲面S的程度，因此也很形象地叫做 通量flux。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲面所在的位置）：
曲面积分（通量）为0：
→ → → → →
--------------------
→ → → → →
曲面积分（通量）不为0：
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
--------------------
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
那么 曲线积分line integral也很类似，只不过我们不积一个曲面S而是一个一维的曲线γ。它有如下形式：
其中γ表示我们需要积的曲线， ·代表点乘， l指向曲线γ的方向。不难看出， 曲线积分表示着向量场F沿着曲线γ的程度。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲线γ）：
曲线积分不为0：
→ → → → →
--------------------
→ → → → →
曲线积分为0：
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
--------------------
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号∫上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做 环量circulation，因为是积了一个环嘛。很显然，如果 F是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0（这就是保守力场的定义啊），所以 保守力场的任意环量都为0。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。
定义一个通量所使用的曲面S则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号∫∫上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。
总结如下表：
曲面积分 曲线积分
表示向量场 通过曲面 沿着曲线 的程度
又叫做 通量 －－
若为闭合 －－ 环量
6. 麦克斯韦方程组的积分形式
我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。
(1) 高斯定律： 电场 E在闭合曲面∂V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V内的电荷（乘上系数1/ε0）；
(2) 法拉第定律： 电场 E在闭合曲线∂S上的环量，等于磁场 B在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数-1）；
(3) 高斯磁定律： 磁场 B在闭合曲面∂V上的通量，等于0；
(4) 安培麦克斯韦定律：磁场 B在闭合曲线∂S上的环量，等于该曲线环住的曲面S里的电流（乘上系数μ0），加上电场 E在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数μ0ε0）。
虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。
(1) 高斯定律：
例子1：假设我们有一个点电荷Q，以其为球心作一个球，把这块体积称为V，那么∂V就是这个球的表面。这个电荷Q产生了一些电场，从中心的Q向外发射，显然电场线都穿过了球的表面∂V，所以“闭合曲面∂V的通量”是个正数，不为0，而“该曲面包裹住的电荷”为Q，也不为0。
例子2：假设我们把电荷Q替换为-Q，那么所有的电场线方向都反过来了，∂V的通量（记得通量中的点乘吗？）也因此获得了一个负号，所以“闭合曲面∂V的通量”变成了负数，而“该曲面包裹住的电荷”为-Q，也变成了负数。等式再一次成立。
例子3：假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍，这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时，由于库仑力的反比平方定律，由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍，在球表面∂V的电场强度也变成了原来的1/4。通量（电场和面积的积分）获得一个系数4，又获得一个系数1/4，所以“闭合曲面∂V的通量”没有变，而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为Q，也没有变。
例子4：事实上，我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积，算出来的通量都不会变（尽管会非常难算），因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。
例子5：假设我们把电荷移到这个曲面外面，那么电场线会从这个球的一面穿透进去，然后从另一面出来，所以当我们做积分的时候，两个方向的通量抵消了，整个“闭合曲面∂V的通量”为0，而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷，所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。
(2) 法拉第定律：
例子6：一圈闭合导线，环住了一块曲面S，则记这个曲线的位置为∂S，那么经过∂S的电场 E的环量其实就是导线内的电势（电压）。垂直于S通过一些磁场 B，则通过S的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流，也就是说，并没有电压，“闭合曲线∂S的环量”为0。这是很显然的，因为磁通量并没有变化，没有电磁感应，换句话说，“曲面S上的通量的变化率”为0。
例子7：这个时候我突然增加磁场，所以磁通量变大了，“磁通量的变化率”为正，不为0。因此，等式的左边“闭合曲线∂S的环量”也为正，不为0，也就是说，导线内产生了一些电压，继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。
例子8：如果我不是增加磁场，而是减小磁场，那么磁通量变小了，“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线∂S的环量”也获得了一个负号，换句话说，感应电流的方向反了过来。
(3) 高斯磁定律：
例子9：随便选择一个闭合曲面，整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同，因此说明，不像有可以产生电场的“电荷”，这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”（也就是“磁单极子”）的。
(4) 安培-麦克斯韦定律：
例子10：假设我们有一个电流I，以其为轴作一个圆，把这个圆称为S，那么∂S就是这个圆的边缘。这个电流I产生了一些磁场，（按照右手定则）绕着导线。显然磁场线和∂S都是“绕着导线”，方向一致，所以“闭合曲线∂S的环量”是个正数，不为0，而“该曲线环住的电流”为I，也不为0。
例子11：假设我们改变电流方向，即把I变成-I，那么所有的磁场线方向都反过来了，∂S的环量也因此获得了一个负号，所以“闭合曲线∂S的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。
例子12：和高斯定律很像，我们随便怎么改变这一个环的大小、面积，只要环住的电流不变，算出来的环量都不会变（尽管可能会非常难算）。而若电流在这个环外面，尽管仍然有磁场存在，但在计算环量时相互抵消，使得等式两边都变成0。
例子13：“变化的电场产生磁场”（即第二项）的例子非常难找，这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述，读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。
最后，还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗？显然，要想让磁场的环量为0，那就只能既没有电流（方程(4)中的第一项），也没有变化的电通量（第二项），那么磁场只能为0。换言之，任何磁场都不是保守力场。想让电场的通量为0还比较简单，只需要令磁通量不变（方程(2)）就好了。换言之，只有在静电学（电磁场均静止不变）中，静电场才是保守力场。
7. 向量微分
麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象，从每个方程的名字也可以看出，方程组总结、整合了前人（库仑、高斯、安培、法拉第等）发现的各种现象和其方程（在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个），而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起，用短短四个公式涵盖了所有现象，非常了不起。然而平心而论，积分形式仍然显得颇为繁琐，原因有二：1. 积分是很难算的，虽然每一个方程的左右两边都必然相等，但随便给你一个场和一个曲面/曲线，想把左侧的积分算出来极为困难；2. 也正因为如此，我们尽管有可以描述电磁场的方程，但给定一个特定的来源（比如天线中一个来回摇摆的电荷），我们想算出具体的 E和 B也是极为困难，因为我们只知道E和B在某个特殊曲面/曲线上的积分。
这就是微分形式的好处。首先，计算一个给定向量场的微分（散度和旋度）是很简单的，只要使用之前提到过的 ∇·和 ∇×算符就好，而这两个算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度，有着非常直接的几何意义，从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然，我们又需要再准备一些向量微积分的知识，其中的重点就是散度和旋度。
散度divergence，顾名思义，是 指一个向量场发散的程度。一个向量场 F的散度是一个标量场（向量场的每一点有一个自己的散度），写作 ∇·F（这个写法也很直白，因为点乘就是标量）。如果一个点的散度为正，那么在这一点上 F有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上 F有向内收敛的趋势。
旋度curl则 指一个向量场旋转的程度。一个向量场 F的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作 ∇×F（这个写法也很直白，因为叉乘就是向量）。如果一个点的旋度不为0，那么在这一点上 F有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。
举些例子，以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散，但完全没有旋转扭曲的趋势；第二个向量场形成了一个标准的漩涡，但没有任何箭头在往外或往里指，没有发散或收敛的趋势。（显然这两个图都是用字符直接画的；大家凑合着看，有空我再搞张好看点的图）
散度不为0、但旋度为0的向量场：
↖ ↑ ↗
← · →
↙ ↓ ↘
旋度不为0、但散度为0的向量场：
↗ → ↘
↑ · ↓
↖ ← ↙
因此，如你所见，散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度，我们就可以唯一确定这个向量场本身（这是亥姆霍兹定理，我要是有兴致可以以后简单谈谈）。
麦克斯韦方程组的微分形式，就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到，微分形式和积分形式是完全等价的，我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。
高斯定理Gauss's Theorem：一个向量场 F在闭合曲面∂V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V里的 F全部的散度（ F的散度的体积积分）。这是可以想象的，毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了，也就是总共的散度（散度的积分）。
斯托克斯定理Stokes' Theorem：一个向量场 F在闭合曲线∂S上的环量，等于该曲线环住的曲面S上的 F全部的旋度（ F的旋度的曲面积分）。这也是可以想象的，毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样（有多少场在沿着这个环旋转），也就是总共的旋度（旋度的积分）。
总结如下表：
曲面积分 曲线积分
积分形式 通量 环量
联系 高斯定理 斯托克斯定理
微分形式 散度 旋度
8. 麦克斯韦方程组的微分形式
了解了散度和旋度的概念之后，我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。
(1) 高斯定律： 电场 E的散度，等于在该点的电荷密度ρ（乘上系数1/ε0）；
(2) 法拉第定律： 电场 E的旋度，等于在该点的磁场 B的变化率（乘上系数-1）；
(3) 高斯磁定律： 磁场 B的散度，等于0；
(4) 安培麦克斯韦定律：磁场 B的旋度，等于在该点的电流密度 J（乘上系数μ0），加上在该点的电场 E的变化率（乘上系数μ0ε0）。
我们可以看出，电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的：电荷的作用是给电场贡献一些散度，而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的，都是给对方贡献一些旋度。
想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举，因为微分形式主要是让计算更加简便，在数学上比较有优势，而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过，至少静电磁场的例子还是可以举的。比如，我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷，这正是在说电场的散度在正电荷处为正，在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流，而不会进入或发源于电流，这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。
9. 电磁波
我刚刚提到，微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便，我现在就给一个例子，也就是著名的光速。想象我们在真空中，周围什么都没有。这个时候，显然电荷密度和电流密度均为0，所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了：
这四个公式简直太对称了！而且它们的含义也很清晰，基本就是说，变化的电场产生磁场，而变化的磁场产生电场。这就是 电磁波electromagnetic wave的方程，电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。
想要具体解出这个方程的解，还是需要玩儿一会儿微积分的，但是我们注意到两个式子分别有系数-1和μ0ε0。如果你了解波动方程的话，从这两个系数就可以算出这个波传播的速度，为
然而！μ0和ε0这两个常数是真空的性质（分别叫做 真空电容率vacuum permittivity和 真空磁导率vacuum permeability），是个定值。换句话说， 电磁波传播的速度（光速）也是一个定值！也就是说，在任何参考系里观察，光速都应该是一样的c！这根据伽利略速度相加原理是不可能的（静止的你认为火车的速度是50 m/s，那么如果你以1 m/s的速度往前走你就会认为火车的速度只有49 m/s，显然不会仍然是50 m/s），但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐，这就是相对论的由来了。
10. 方向性
可能有同学已经发现，我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候，出现了各种左手、右手定则（插一句，请一定一定忘掉左手定则，使用左手简直反人类，在正统的向量微积分和电磁学里 只有右手定则）。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中，我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗？
答案是肯定的。方向或者说手性（为什么是“右手”定则而不是“左手”定则？）来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘 u×v是一个向量，指的方向是垂直于 u和 v的方向；但显然有两个不同的方向均满足这个条件，而我们选择了其中特定的一个，把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地，一个曲面S也有两个方向（即其微分元素d a是向量）。注意到曲线积分也是有方向性的（即其微分元素d l也是向量），因此我们把S的d a和∂S的d l联系起来，这个联系的规则也叫做“右手定则”。
上面这些情况中，选择“右手”是非常随意的；原则上我也可以全部选择左手，那么我得到的数学体系和原来的是完全等价的。当然，磁场 B会和原来的磁场指的方向完全相反，但是没有关系，因为我们又不能直接看到磁场，所有的定律的手性都变了之后，描述的物理是不变的。但是，选择右手是约定俗成的，也就没必要再纠结为什么了。
11. 梯度、二次导数
我在之前说到保守力场的时候，偷偷塞进来过这样一个式子： F=- ∇V。这里 F是个向量场，V是个标量场。我们看到，这个神奇的倒三角不但可以表示散度（把向量变成标量）和旋度（把向量变成向量），还可以这样把一个标量场变成一个向量场！数学上这个倒三角叫 Nabla算符，而 ∇V叫做一个标量场V的梯度。
什么叫做梯度呢？其实相比于散度和旋度，这应该是更加熟悉的概念。 梯度gradient就是 一个标量场变化的程度。我们可以把一个标量场想象成一个山坡，每一点的梯度是一个向量，指的方向是上坡的方向，大小则是坡的陡峭程度。
总结一下我们见到的三种向量微分吧：
梯度 散度 旋度
作用在一个 标量 向量 向量 场上
表示这个场 变化 发散 旋转 的程度
得到一个 向量 标量 向量 场
写作 ∇V ∇·F∇×F
于是从 F=- ∇V这个公式我们看到，保守力场（比如引力场）可以表示为某个标量场（比如引力势能）的梯度。之前说过，保守力场的环量/旋度一定为0。这也就是说，梯度的旋度一定为0。这是可以想象的，梯度指的是上坡的方向，而如果它有旋度，就意味着它们的指向可以形成的一个环，在这个环上可以一直上坡。这就像彭罗斯楼梯，是不可能的情形。
还有一个类似的定理，是说旋度的散度一定为0。我们也来想一下几何上这意味着什么。如果旋度有散度，就意味着在某个球上散度都在往球外指，也就意味着在球上每个点这个场都是逆时针旋转的。想想也知道这是不可能的。所以我们得到了两个重要的结论：
1. 任意标量场V的梯度∇V都是没有旋度的，也就是∇×(∇V)=0；
2. 任意向量场F的旋度∇×F都是没有散度的，也就是∇·(∇×F)=0。
我说过，这些“X度”都可以认为是场的一种微分，那么这些“X度的X度”就可以认为是二次导数了。我们看到，有两种二次导数都自动为0，不必我们深究。还有一种二次导数也很有名，也就是梯度的散度，它甚至有了一个专门的花哨的名字，叫 “拉普拉斯算符”Laplacian。在此我不作展开，大家只要知道它挺重要的就行。
12. 电荷守恒
从麦克斯韦方程组中可以直接推出电荷守恒。这个推导十分简单，且颇为有趣，可以让大家看到向量微积分的方便之处，我就简要写一下：
首先我们有安培-麦克斯韦定律：
两边同时取散度：
注意到左边是磁场的旋度的散度，而旋度的散度一定为0，故左边为0。右边交换散度和时间导数，并约掉μ0，得：
使用高斯定律：
代入原式，约掉ε0，得：
这个就是电荷守恒的公式。用语言说，就是 电流密度的散度加上电荷密度的变化率一定为0。如果这比较抽象，我们可以对两项同时体积积分，再对 J那项使用高斯定律变成面积积分，则结论变成：
一块体积V内的电荷的变化率加上通过表面∂V的电流一定为0。
举个栗子，如果一块体积内的电荷Q变少了，其变化率为负，根据上述结论，通过表面的电流一定为正，也就是说有电流从这块体积内流出去了。这就是非常明显的电荷守恒了，给出了电荷和电流的关系，这个公式也叫 “连续性方程”continuity equation。连续性方程在流体力学里十分重要，甚至在量子力学里的概率也遵守这个方程（电荷->概率，电流->概率流）。
S1. 附录：省略掉的各种公式和定义
库仑定律：
毕奥-萨伐尔定律：
Nabla算符：
梯度：
散度：
旋度：
高斯定理：
斯托克斯定理：
真空中的电磁波：