从简单的信道估计说起

  

前面写了关于CP在OFDM中的应用，主要是记录一点零星的想法而已，今天突然想写点关于信道特性方面的东西。原因有以下几点：

       1）信道在仿真中的地位不容置疑，不同信道的条件下的仿真是许多课题的重点，自己几乎还没入门。

       2）正因为没入门，所以只能从最简单的信道估计说起，当然也会谈到CP的问题，毕竟是由于仿真CP对OFDM影响才激发了自己去看相关的材料。

       3）另一个原因，写文章是整理思维的一个过程。

       4）最后，Mark离我远去的智牙，疼ing!

      先让我们回顾下一些小知识点：

       1）信号经过多条小径到达，每条径幅度和相位随机，我们得知其幅度是服从瑞利分布，相位是均匀分布，有经典的Jakes模型以及各种改进算法来仿真（其中是考虑了多普勒频移）。 

       2）无线环境中的信道模型经常是多径（大径）的（直射径和反射、散射等），由于多径带来了频率选择性，所谓频率选择性，就是信道对不同频率的信号成分施加不同的影响。

       3）另外，如果又外加移动的条件，那么我们的信道就是时变的了，时变就会带来频域弥散，也就是俗称的多普勒频移  

       4）所以，我们总会把无线信道建模为线性时变信道。

    

     我们从最简单的多径信道开始，我们仿真有两条径，每条径并没有衰落，就是一个固定的加权值，我们先看一个例子：

接下来我们用程序来验证下：

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tx_data = [1 0 0 0];
data_delay = [0 1 0 0];
rx_data = tx_data + data_delay;

fft_tx = fft(tx_data)
fft_rx = fft(rx_data)
 
  
 
  
 
  
 结果如下： 
  
 
  
 
  
其实我上面的程序验证是非常非常简单的一个，如果你把数据修改为[1 2 3 4]就肯定不是这样的结果了。问题出在哪呢？这就要从公式(2)说起了，什么样的DFT才能产生那样的结果呢？回顾DSP我们可以知道，循环移位也就是周期移位才能产生公式(2)的效果,那为什么上面的程序没有循环移位又出现了正确结果呢？那是因为上面数据[1 0 0 0]线性移位和周期移位效果等同，为了验证我们来修改一下上面的数据，不妨就拿无辜的[1 2 3 4]来看看
 
  
 
  
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tx_data = [1 2 3 4];
data_delay_linear = [0 1 2 3];
data_delay_period = [4 1 2 3];
rx_data_linear = tx_data + data_delay_linear;
rx_data_period = tx_data + data_delay_period;

fft_tx = fft(tx_data)
fft_rx_linear = fft(rx_data_linear)
fft_rx_period = fft(rx_data_period)
 
  
 
  
 
  
 结果如下： 
  
 
  
 
  
很明显只有循环移位叠加后的结果才满足一般的信道特性，例如k=1,(-2+2i)*H(1)=(-2+2i)*(1-i)=4i。我们在接收端只要获得了H(k)的各个值，就很容易补偿信道带来的损失了。
 
  
  
 
  
    好了，让我们回到OFDM上来，我们把经过星座映射后的符号放置在不同的IFFT_BIN上，也就是用不同的频率来发送，在 前面博文循环前缀在OFDM中应用（一）中我们已经说明，经过信道无非是每个频率经过H(k)的加权而已，这样的话我们就不需要用那么复杂的均衡技术了，只需要估计出H(k)的值，然后逆运算就可以恢复原来的符号了，我们是用了循环前缀这一技术才能达到上面所说的效果，在那篇博文中我们是从循环前缀变线性卷积为循环卷积来证明的，但是并没有说明为什么就变换成功了，今天希望直观的理解一下。现在有了上面简单的例子，我们可以看出一点端倪。还是拿无辜的[1 2 3 4 ]来说明(在此CP长度取3)：
 
  
                                  
 
  
从上面这个图，我们可以看出来只要信道冲激响应长度小于CP的长度，我们都可以把线性移位变成区间[1:4]内的循环移位，所以加了CP后的信号，经过信道传输后，我们接受端是会去掉CP那段长度的，这里还不够直观，为什么发送端加CP，接收端去掉CP就能实现循环卷积呢？好了，为了解决这个问题，让我们看看到底什么是循环卷积和线性卷积，为了直观的理解，我不打算用DSP上的理论，我从一个更加直观的方面来说。
 
  
 
  
其实可以这么总结：从整体上宏观的看，我们的信号经过信道肯定是与信道的冲激响应作线性卷积的，就好比上面无辜的[1 2 3 4]例子一样，各个时延版本的加权和(这里都加权都是1而已)，但是当我们从局部微观的看，我们不只关心区间[1:4]，那么一个很显然的事实就摆正面前：在这个局部我们做的是循环卷积。
 
  
好了，我们现在的思绪差不多理清了，总结下：我们把星座映射后的符号X=[X1,X2...,Xn]经过IFFT运算后，得到了时域信号x=[x1,x2...,xn],我们加上CP后变成x'，把它变成‘宏观’的信号经过信道，整体上是一个线性卷积没错！但是在原始时域信号x那个小区间内，却始终保持的是循环卷积(只要CP长度大于信道冲激响应长度)，那么我们就可以利用手段来获取信道特征H(k),每个k就对于每个子载波上的符号Xk，所以一个频率选择性信道就变成了多个平坦的信道了。
 
  
 
  
后记：书上简单的一句：CP把线性卷积变成循环卷积，其实我认为更好的理解就是：宏观的线性卷积变成局部的循环卷积，毕竟我们接收端会去除CP，也就是说我们始终关心的还是那个局部，因为那个区间才是我们IFFT变换得来的，所以CP就是以信道带宽的代价来降低接收端的复杂度。