机器学习线性代数基础

机器学习线性代数基础

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线性代数作为数学的一个分支，广泛用于科学和工程中。然而，因为线性代数主要是面向连续数学，而非离散数学，所以很多计算机科学家很少接触它。握好线性代数对于理解和从事机器学习算法相关工作是很有必要的，尤其对于深度学习算法而言。因此，我们集中探讨一些必备的线性代数知识。并使用numpy或者tf2的代码去展现这些运用。

标量 向量 矩阵和张量

• 标量（scalar）：一个标量就是一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。当我们介绍标量时，会明确它们是哪种类型的数。比如，在定义实数标量时，我们可能会说‘‘令s 2 R 表示一条线的斜率’’；在定义自然数标量时，我们可能会说‘‘令n 2 N 表示元素的数目’’。

np_scalar = np.array(1)
tf_scalar = tf.constant(1)
print(np_scalar, tf_scalar)
out: 1 tf.Tensor(1, shape=(), dtype=int32)

• 向量（vector）：一个向量是一列数。这些数是有序排列的。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如x。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量x 的第一个元素是x1，第二个元素是x2，等等。我们也会注明存储在向量中的元素是什么类型的。如果每个元素都属于R，并且该向量有n 个元素，那么该向量属于实数集R 的n 次笛卡尔乘积构成的集合，记为Rn。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵列：

np_vector = np.array([1,2,3])
tf_vector = tf.constant([1,2,3])
print(np_vector, tf_vector)
out: [1 2 3] tf.Tensor([1 2 3], shape=(3,), dtype=int32)

• 矩阵
  矩阵（matrix）：矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素被两个索引而非一个所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如A。如果一个实数矩阵高度为m，宽度为n，那么我们说A 属于R${}^{mxn}$。我们在表示矩阵中的元素时，通常以不加粗的斜体形式使用其名称，索引用逗号间隔。比如，A${}_{1,1}$ 表示A 左上的元素，A${}_{m,n}$ 表示A 右下的元素。我们通过用“:’’ 表示水平坐标，以表示垂直坐标i 中的所有元素。比如，Ai;: 表示A 中垂直坐标i 上的一横排元素。这也被称为A 的第i 行（row）。同样地，A:;i 表示A 的第i 列(column）。

np_matrix = np.array([[1, 1, 1],
                      [2, 2, 2]])
tf_matrix = tf.constant([[1, 2, 3],
                         [2, 2, 2]])
print(np_matrix, tf_matrix)
out:
[[1 1 1]
 [2 2 2]] tf.Tensor(
[[1 2 3]
 [2 2 2]], shape=(2, 3), dtype=int32)

• 张量(tensor):在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。

矩阵于与向量相乘

矩阵乘法是矩阵运算中最重要的操作之一。两个矩阵A 和B 的矩阵乘积
（matrix product）是第三个矩阵C。为了使乘法定义良好，矩阵A 的列数必须和矩阵B 的行数相等。如果矩阵A 的形状是mn，矩阵B 的形状是np，那么矩阵C 的形状是mp。我们可以通过将两个或多个矩阵并列放置以书写矩阵乘法
C = AB:
具体地，该乘法操作定义为:

A = tf.constant([[1, 1, 1],
                 [2, 2, 2],
                 [3, 3, 3]])
B = tf.constant([[1, 1, 1],
                 [2, 2, 2],
                 [3, 3, 3]])

C = A @ B
print(C)

需要注意的是，两个矩阵的标准乘积不是指两个矩阵中对应元素的乘积。不过，那样的矩阵操作确实是存在的，被称为元素对应乘积（element-wise product）或者Hadamard 乘积（Hadamard product），记为A ⊙ B。

两个相同维数的向量x 和y 的点积（dot product）可看作是矩阵乘积x⊤y。我们可以把矩阵乘积C = AB 中计算Ci;j 的步骤看作是A 的第i 行和B 的第j 列之间的点积。

Broadcasting

在深度学习中，我们也使用一些不那么常规的符号。我们允许矩阵和向量相加，产生另一个矩阵：C = A + b，其中Ci;j = Ai;j + bj。换言之，向量b 和矩阵A 的每一行相加。这个简写方法使我们无需在加法操作前定义一个将向量b 复制到每一行而生成的矩阵。这种隐式地复制向量b 到很多位置的方式，被称为广播(Broadcasting)

A = tf.constant([[1, 1, 1],
                 [2, 2, 2],
                 [3, 3, 3]])
b = tf.constant([1])
C = A + b
print(C)

线性相关和生成子空间

接下来就不写太多冗余的定义了,说人话时间
想要了解线性相关和生成子空间让我们先来了解几个概念

• 矩阵方程组的解有一个或者无数个
• 线性组合: 子向量的组合,可以从二维坐标系中坐标的分解与组合进行理解

生成子空间: 原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。

线性相关:
假设A有m列,n行
不等式n >=m 仅是方程对每一点都有解的必要条件条件。这不是一个充分条件，因为有些列向量可能是冗余的。假设有一个R22 中的矩阵，它的两个列向量是相同的。那么它的列空间和它的一个列向量作为矩阵的列空间是一样的。换言之，虽然该矩阵有2 列，但是它的列空间仍然只是一条线，不能涵盖整个R2 空间。说人话就算在运算的过程中有的列可以被消去,变成全为0

正式地说，这种冗余被称为线性相关（linear dependence）。
(怎么感觉还是不在说人话…)

范数

有时我们需要衡量一个向量的大小。注意划重点,范数是用来衡量一个向量的大小，在机器学习中，我们经常使用被称为范数（norm）的函数衡量向量大小。形式上，Lp 范数定义如下

范数（包括Lp 范数）是将向量映射到非负值的函数。直观上来说，向量x 的范数衡量从原点到点x 的距离。更严格地说，范数是满足下列性质的任意函数：

范数是一种函数不是数

当p = 2 时，L2 范数被称为欧几里得范数（Euclidean norm）。它表示从原点出发到向量x 确定的点的欧几里得距离。L2 范数在机器学习中出现地十分频繁，经常简化表示为∥x∥，略去了下标2。平方L2 范数也经常用来衡量向量的大小，可以简单地通过点积x⊤x 计算。

平方L2 范数在数学和计算上都比L2 范数本身更方便。例如，平方L2 范数对x 中每个元素的导数只取决于对应的元素，而L2 范数对每个元素的导数却和整个向量相关。但是在很多情况下，平方L2 范数也可能不受欢迎，因为它在原点附近增长得十分缓慢。在某些机器学习应用中，区分恰好是零的元素和非零但值很小的元素是很重要的。在这些情况下，我们转而使用在各个位置斜率相同，同时保持简单的数学形式的函数：L1 范数。L1 范数可以简化如下：

当机器学习问题中零和非零元素之间的差异非常重要时，通常会使用L1 范数。每当x 中某个元素从0 增加ϵ，对应的L1 范数也会增加ϵ。

有时候我们会统计向量中非零元素的个数来衡量向量的大小。有些作者将这种函数称为“L0 范数’’，但是这个术语在数学意义上是不对的。向量的非零元素的数目不是范数，因为对向量缩放 a 倍不会改变该向量非零元素的数目。因此，L1 范数经常作为表示非零元素数目的替代函数。

范数还有很多种类：

• 最大范数
• Frobenius范数
• L1范数
• L2范数

有兴趣的可以去了解了解，这里就不多做说明了