二叉树

树

概念定义

节点高度： 节点到叶子节点的最长路径(边数)

节点深度： 根节点到这个接点所经历的边的个数

节点层： 节点的深度 + 1

树的高度： 根节点的高度

二叉树

每个节点最多有两个叉，分别是左子节点和右子节点，并不一定每个节点都有两个子节点。

满二叉树： 叶子节点全在最底层，除了叶子节点每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就是满二叉树。

完全二叉树： 叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠在 左排列 ，并且除了最后一层，其他层的节点个数达到最大。

二叉树的存储

1. 基于指针或二叉链式存储法
2. 基于数组的顺序存储法(完全二叉树存储优先方式)

链式存储法

每个节点有三个字段，一个存储数据，另外两个指向左右子节点的指针。

顺序存储法

根节点存储在下标 i=1 的位置，左节点存储在 2 * i = 2的位置，右节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置，以此类推。

如果节点 X 存储在下标 i 的位置，下标 2*i 的位置就是左子节点，下标 2 * i + 1 的位置就是右子节点。

如果是完全二叉树，仅仅浪费一个下标为0的存储位置。如果是非完全二叉树就会浪费更多的存储空间。

二叉树的遍历

• 前序遍历：先打印该节点，再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
• 中序遍历：先打印它的左子树，再打印它本身，最后打印它的右子树。
• 后序遍历：先打印它的左子树，再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

二叉查找树

别名： 二叉排序树(中序遍历)

支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作，为快速查找而诞生的数据结构。

定义： 二叉查找树中，在数的任意一个节点，左子树中每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。

二叉查找树的查找操作

首先取根节点，如果等于查找的数据，就返回。如果查找的数据比根节点的值小，那么就在左子树中递归查找；如果查找的数据比根节点大，就在右子树中递归查找。

二叉查找树的插入操作

新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以依旧是从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将数据直接插入到右子节点的位置；如果不为空就，递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数小，并且左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；不为空就再遍历左子树，查找插入位置。

二叉查找树的删除操作

查找和插入操作都比较简单，但是删除操作就比较复杂。

针对删除节点的子节点的个数不同，需要三种情况来处理。

删除的节点没有子节点

直接将父节点中，指向要删除节点的指针设置为 null。

删除的节点有一个子节点

删除的节点只有一个子节点，我们需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点。

删除的节点有两个子节点

要删除的节点有两个子节点；

• 需要找到改节点的右子树中最小的节点，把它替换到要删除的节点上。
• 然后删除掉这个最小的节点，因为最小的节点肯定没有左节点(否则就不是最小节点)。

特殊方法： 只是将要删除的节点标记为 已删除 ，并不真正的将该节点删除掉，但是这种比较浪费内存空间，但是删除操作就变得很简单。

二叉查找树的其他操作

• 支持快速查找最大节点和最小节点，前驱节点和后继及诶单。
• 中序列遍历二叉查找树： 可以输出有序的数据序列，时间复杂度为O(n)。

支持重复数据的二叉查找树

• 每一个节点不仅会存储一个数据，通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，将值相同的数据存储在同一个节点上。
• 每个节点依旧只存一个数据，但是在查找插入的过程中，如果碰到一个节点的值，与插入数据的值相同，就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是把这个新插入的数据当做大于这个节点值来处理。
  • 查找数据： 遇到相同的值并不停止查找操作，而是继续在右子树查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以将键值相等的所有节点查找出来。
  • 删除数据：需要找到每个删除的节点，然后按照前面的删除方法来操作。

二叉查找树时间分析

时间复杂度与树的高度成正比，也就是O(height)

二叉查找树： 插入、查找、删除，理想时间复杂度为 $$O(lon2n)$$，

极度不平衡的二叉查找树，当退化成单链表时，时间复杂度就为O(n)

平衡二叉查找树： 树的高度接近 logn，所以插入、查找、删除的时间复杂度为O(logn)

问题

散列表在插入、删除和查找中时间复杂度能做到常量级O(1)，为什么还要用二叉查找树呢？

• 散列表数据是无序的，当有序输出需要先进行排序，但是二叉查找树来说直接进行中序排序时间为O(n)

• 散列表扩容耗时，当遇到散列冲突时，性能不稳定；但是在工程中用到的平衡二叉树，时间复杂度O(logn)

• 散列表的时间复杂度是常量级的，但是应为哈希冲突存在，常量不一定比O(logn)小，所以实际速度不一定比O(logn)快，加上哈希函数耗时，也不一定比平衡二叉树效率高。

• 散列表构造比二叉树复杂，要考虑散列函数的设计、冲突、解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉树只考虑平衡性这个问题(解决方案比较成熟)。