关于自动控制的总结与感悟

最近在知乎上看到了一位 知乎大神关于自动控制的总结，相比之下，自己的自动控制的一些认识与理解还是比较基础，不够深刻，这里将几篇我认为很不错的关于classical control，modern control的内容搬运过来，并附上自己的感悟。

1、如何入门自动控制理论
本文从频域的角度阐述了自动控制（反馈控制）的本质，即借助反馈控制与控制器（补偿器）来增大闭环系统的截止频率，并保持合适的相角延迟，从而使得输入信号的各频率分量能够最大程度的通过该闭环系统，在时域角度看来，即是输出能够很好地跟踪输入。

重点1：理解频率响应（傅里叶变换）。在时域中的信号可通过不同频率的正弦信号叠加而成。对于一个稳定的系统，当输入一个特定频率的正弦信号，系统的输出为同一频率的正弦信号，只是幅值与相角不同（可视为该稳定系统对该正弦信号的进行了放大/缩小，或进行了移位）。当我们依次增大该正弦信号的频率，并输入至该系统，然后分别记录不同频率下的系统输出的幅值和相位，即可得到该系统的频率响应（时频、相频响应）。对于一个一般的输入信号而言，其作用于一个稳定的系统，系统的输出可视为该时域信号所对应的不同频率的正弦信号经过该系统放大/缩小/移位后叠加而成。一般而言，时域信号经傅里叶变换，在所有的频域分量中，低频信号占据主导地位。因此，如果该系统的截止频率（幅频响应中0db对于的频率）越大，就会有越多的信号能够通过该系统，从而系统的输出就与输入越吻合。

重点2：反馈控制，补偿器及控制器，本质上就是试图增大系统的截止频率，同时保证合适的相角延迟，从而使得输出更好地跟踪输入。

2、如何入门现代控制理论
现代控制理论与经典控制理论的区别之一在于前者使用状态方程描述系统，而后者使用传递函数。相比于传递函数只关注系统的输入-输出关系，状态方法描述了系统的内部状态，显得更加精细。状态方程的优势在于提供了在时域分析系统的能力，更加直观。

重点1：特征方程与特征函数。在矩阵与向量中的乘法中，如何理解矩阵的物理含义。1、在固定坐标系中，矩阵与向量的乘法，可视为对该向量进行变换（放大/缩小/旋转），即矩阵意味着变化；2、矩阵与向量的乘法，也可视为在某一固定坐标系下的向量，在由该矩阵表示的新坐标系中的投影。对于一个矩阵的特征向量，该矩阵与其特征向量的乘积只能改变该特征向量的大小（由特征值描述），不改变方向。特征函数也具有类似的性质，即对其进行变换，只改变其幅值，不改变方向（基），如$e^{at}$，其对$t$的导数为$a{e}^{at}$。

重点2：状态方程中的状态即是由一系列$e^{a_{i}t}$（$a_i$为状态方程中$A$矩阵的特征值）线性组合而成。基于此，可以轻松地求解状态方程与输出方程。

重点3：系统是否能控与能观决定着状态反馈与状态观测器是否可行。

重点4：系统镇定与跟踪控制，二者皆可借助状态反馈实现，区别在于后者的参考输入不为0。基于状态反馈的跟踪控制实现方法较多，按照是否引入输出反馈，可分为，1、参考输入前馈（此时控制器$u=k_{1}x+k_{2}r$,$k_1$为状态反馈增益，$k_2$为参考输入前馈的增益，$k_2$可由系统在期望的稳态处求出）。该方法在扰动存在时，系统有稳态误差。2、输出反馈（此时控制器$u=k_{1}x+k_2(r-y)$或者$u=k_{1}x+k_2{\int }_0^t(r-y)$，前者对应于单位反馈闭环系统没有稳态误差，此时引入比例环节即可；后者对于单位反馈闭环系统有稳态误差时，可以引入积分项，以消除稳态误差，该形式其实是internal model principle的一个应用）。至于状态反馈增益如何求取，可借助极点配置或者LQR方法。

3、线性二次型最优控制
线性二次型最优控制可理解为以最小状态偏差和控制输入为优化目标，借助状态反馈，实现的对线性系统的最优控制。

重点1：理解优化目标$J={\int }_0^{\infty }(x^{T}Qx+u^{T}Ru)dt$。对于线性系统，我们设其稳定点为0，故$x^{T}x=(x-0{)}^T(x-0)=e^{T}e$，可见我们应该使系统的状态误差在整个时域内的和最小；同时可以调整权重$Q$来对不同的状态分配不同的权重，如果对各个状态一视同仁，则$Q=I$，（$I$为单位矩阵），以上即构成了优化目标$J$的前半段。此外，我们也希望约束控制输入，因此引入$u^{T}Ru$，$R$越小，则允许的控制输入就越大。

重点2：如何从优化目标得到最优控制率。借助状态反馈$u=-Kx$，则$J={\int }_0^{\infty }(x^{T}Qx+u^{T}Ru)dt={\int }_0^{\infty }{x}^T(Q+K^{T}RK)xdt$，$K=-R^{-1}{B}^{T}P$，其中$P$为黎卡提方程的解，满足$PA+A^{T}P-PB{R}^{-1}{B}^{T}P+Q=0$。

重点3：终值定理与跟踪控制。借助终值定理，对于时域信号$f(t)$在$t=\infty$时的取值，可由$sF(s)$在$s=0$时得到。这可以帮助我们快速地判断，反馈控制系统是否有稳态误差。如果系统没有稳态误差，则无需引入积分器，借助状态反馈即可完成；如果有稳态误差，可在控制输入通道引入积分器。