数论四大定理

威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理、费马小定理并称数论四大定理。

威尔逊定理

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若p为 质数,则p可整除(p-1)!+1。

欧拉定理

欧拉定理,也称费马-欧拉定理。
若n,a为正整数,且n,a互素,即gcd(a,n) = 1,则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

孙子定理

孙子定理,又称中国剩余定理。
公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二 ,五五数之余三 ,七七数之余二,问物几何?”答为“23”。
明朝程大位用歌谣给出了该题的解法:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。”
以现代的说法,是找出三个关键数70,21,15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的馀数,15乘7除所得的余数,然後总加起来,除以105的余数就是答案。

费马小定理

假如p是质数,若p不能整除a,则 a^(p-1) ≡1(mod p),若p能整除a,则a^(p-1) ≡0(mod p)。
若p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
证明:
因为p是质数,且(a,p)=1,所以φ(p)=p-1。由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1(mod p)。证毕。对于该式又有a^p ≡a(mod p),所以,费马小定理的另一种表述为:假如p是质数,且(a,p)=1,那么a^p ≡a(mod p)。

欧拉定理证明

设x(1),x(2),...,x(φ(n))是一个以n为模的简系,则ax(1),ax(2),...,ax(φ(n) )也是一个以n为模的简系(因为(a,n)=1)。
于是有ax(1)ax(2)...ax(φ(n) )≡x(1)x(2)...x(φ(n))(mod n),
所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
证毕。

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