算法之矩阵连乘问题

一.问题描述

    给定n个矩阵{A1，A2，……，An},其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2，……，n-1。

   例如：

     计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50

     按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次

     按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次

     所以要解决的问题是：如何确定矩阵连乘积A1A2，……An的计算次序，使得按此计算次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数达到最小化。

二.问题分析

   由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵连乘的连乘积可以与许多不同的计算计算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说连乘积已完全加括号，那么可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

   完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

   （1）.单个矩阵是完全加括号的；

  （2）.矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可以表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，及A=（BC）;

    举个例子，矩阵连乘积A1A2A3A4A5，可以有5种不同的完全加括号方式：

       (A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)

    每一种完全加括号的方式对应一种矩阵连乘积的计算次序，而矩阵连乘积的计算次序与其计算量有密切的关系，即与矩阵的行和列有关。

    补充一下数学知识，矩阵A与矩阵B可乘的条件为矩阵A的列数等于矩阵B的行数，例如，若A是一个p*q的矩阵，B是一个q*r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p*r的矩阵。

三.问题求解

1.分析最优子结构：计算一组矩阵连乘，可以将该组矩阵从中间某一位置断开，分别计算左右两个小组矩阵连乘，以此类推，直到只剩下两个矩阵相乘，则只有一种次序。与分治法不同的是，计算其中某一组矩阵连乘，会用到其下方计算得到的解，而且分析可得，当底层小组连乘时是采用最佳次序，那么以此得到的更高层的解也是最佳次序，即问题的最优解可以由子问题的最优解来体现。

2.建立递归关系：如下图所示公式

  

3.计算最优值：自底向上进行计算，并将得到的子问题的解保存下来，之后用到的时候直接查找使用。

#include 
using namespace std;
#define N 6

//各矩阵维数数组P[n+1],数组长度n，子问题解数组m，最优断开位置数组s
void MatrixChain(int p[],int n,int m[N][N],int s[N][N])
{
    for(int i=0;i

四.复杂度分析：最坏时间复杂度O(n^3)；