【题解】洛谷U38181密室[NOIP2018原创模拟赛DAY1T2] 最短路

题目背景

NOIP2018 原创模拟题 T2

NOIP DAY1 T2 or DAY2 T2 难度

题目背景改编自小说《哈利波特与密室》。

说明：#4，bug经修复，感谢：@唐子川

题目描述

密室被打开了。
哈利与罗恩进入了密室，他们发现密室由n个小室组成，所有小室编号分别为：1,2,…,n。所有小室之间有m条通道，对任意两个不同小室最多只有一条通道连接，而每通过一条通道都需要Ci 的时间。

开始时哈利与罗恩都在编号为1的小室里，他们的目标是拯救金妮和寻找日记，但是他们发现金妮和日记可能在两个不同的小室里，为了尽快发现真相，他们决定以最少的时间到达两个目标小室。但是某些小室只有会与蛇对话的人才能进入，也就是只有哈利一个人可以进入。

现在，哈利告诉你密室的结构，请你计算他们到达两个目标小室的最短时间。

输入输出格式

输入格式：

第一行 $n,m,k$ 表示有$n$个小室$m$条通道，$k$间小室只有哈利可以进入。

第二行 $k$ 个数，表示只有哈利可以进入的小室的编号。（若$k=0$，不包含该行）

接下来$m$行，每行$3$个数：$a,b,c$ 表示$a$小室与$b$小室之间有一条需要花费$c$时间的通道。

最后一行，两个数 $x,y$ 表示哈利与罗恩需要去的小室的编号

输出格式：

一行，输出一个数，表示到达两个密室的最短时间。

输入输出样例

输入样例#1：

6 8 1
5
1 2 3
2 3 2
1 3 4
3 4 1
4 6 5
5 6 2
1 6 6
1 5 3
4 6

输出样例#1：

5

输入样例#2：

10 13 3
3 4 10
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 5 4
5 6 5
6 7 10
7 8 5
8 9 10
9 10 3
10 1 2
1 9 6
3 8 10
4 6 3
6 8

输出样例#2：

16

说明

样例解释：

样例一：

哈利：$1\to 5\to 6$ 花费时间为$5$

罗恩：$1\to 3\to 4$ 花费时间为$5$

所以最短时间为$5$

样例二：

图1

如图，橙色表示目标小室，绿色只有哈利可以通过

哈利：$1\to 2\to 3\to 4\to 6$ 花费时间为$9$

罗恩：$1\to 9\to 8$ 花费时间为$16$

所以最短时间为$16$

数据范围：

$10\%$ 数据满足：$n\le 5$

$30\%$ 数据满足：$n\le 20$

$50\%$ 数据满足：$n\le 1000$

$70\%$ 数据满足：$n\le 10000$

$100\%$数据满足：$n\le 50000a,b,k\le nc\le 1000m\le 100000$，保证罗恩可以在密室$1$

特殊约定：

$30\%$数据满足：$k=0$

---

建立一张完整的图和一张残图，分别跑两遍dijkstra，求出哈利到$x,y$的最短路$dis[1][x],dis[1][y]$以及罗恩到$x,y$的最短路$dis[2][x],dis[2][y]$。然后在全图上以$x$为起点跑一遍dijkstra，求出到y的最短路d[y]。
所求即为：
$$\min (\max (dis[1][x],dis[2][y]),\max (dis[2][x],dis[1][y]),min(dis[1][x],dis[1][y])+d[y])$$
时间复杂度$O(算不来)$

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=5e4+10;
const int M=1e5+10;
const int INF=2e9;
int n,m,k,hd[3][N],tot[3],dis[3][N],x,y,d[N],vis[N];
bool ban[N];
struct Edge{
    int v,w,nx;
}e[3][M<<1];
struct Node{
    int to,w;
    Node(){}
    Node(int _to,int _w):to(_to),w(_w){}
    bool operator <(const Node&rhs)const{
    return w>rhs.w;}
};
void add(int id,int u,int v,int w)
{
    e[id][tot[id]].v=v;
    e[id][tot[id]].w=w;
    e[id][tot[id]].nx=hd[id][u];
    hd[id][u]=tot[id]++;
}
void dijkstra(int id)
{
    fill(dis[id],dis[id]+N,INF);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
	priority_queueq;while(q.size())q.pop();
    q.push(Node(1,0));dis[id][1]=0;
    while(q.size())
    {
        Node tmp=q.top();q.pop();
        int u=tmp.to;
        vis[u]=1;
        for(int i=hd[id][u];~i;i=e[id][i].nx)
        {
            int v=e[id][i].v,w=e[id][i].w;
            if(dis[id][v]>dis[id][u]+w)
            {
                dis[id][v]=dis[id][u]+w;
                if(!vis[v])q.push(Node(v,dis[id][v]));
			}
        }
    }
}
void Dijkstra()
{
    fill(d,d+N,INF);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    priority_queueq;while(q.size())q.pop();
    q.push(Node(x,0)),d[x]=0;
    while(q.size())
    {
        Node tmp=q.top();q.pop();
        int u=tmp.to;vis[u]=1;
        for(int i=hd[1][u];~i;i=e[1][i].nx)
        {
            int v=e[1][i].v,w=e[1][i].w;
            if(d[v]>d[u]+w)
            {
                d[v]=d[u]+w;
                if(!vis[v])q.push(Node(v,d[v]));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    memset(hd,-1,sizeof(hd));
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    int u,v,w;
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%d",&u),ban[u]=true;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(1,u,v,w);add(1,v,u,w);
        if(ban[u]||ban[v])continue;
        add(2,u,v,w);add(2,v,u,w);
    }
    scanf("%d%d",&x,&y);
    dijkstra(1);dijkstra(2);
    int ans=min(max(dis[1][x],dis[2][y]),max(dis[2][x],dis[1][y]));
    Dijkstra();
    ans=min(ans,min(dis[1][x],dis[1][y])+d[y]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

总结

实际还是一个最短路问题，建不建两个图都无所谓（题解就没有建双份），然后就是一个分类讨论，很简单，对比NOIP2017DAY1T2……