欧式空间

欧式空间
设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）对称性：g(x,y)=g(y,x)；
（2）加性：g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）齐次性：g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）非负性：g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数

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欧式空间与非欧式空间的区别
一条直线L和不在L上的点P，经过P点平行于L的线有几条？
在欧式空间中，这个问题显然是“只有一条”，然而在非欧空间中，这个问题就不一定了。马鞍形的双曲抛物面，就是一个非欧空间的例子。现实中，非欧空间的例子还很多。
下图中，粉色和黄色线都平行于蓝线，且都经过同一点。更重要的是，蓝色和黄色的平行线并非与欧式空间中的平行线一样处处距离相等。