状态压缩

首先是状态压缩涉及到的一些小知识点：

• 判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。
  方法：if(((1<<(i−1))&x)>0)
  将1左移i-1位，相当于制造了一个只有第i位上是1，其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算，如果结果>0，说明x第i位上是1，反之则是0。
• 将一个数字x二进制下第i位更改成1。
  方法：x=x|(1<<(i−1))
  证明方法与1类似，此处不再重复证明。
• 把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。
  方法：x=x&(x−1)

状压其实是一种很暴力的算法，因为他需要遍历每个状态，所以将会出现2ⁿ的情况数量，不过这并不代表这种方法不适用：一些题目可以依照题意，排除不合法的方案，使一行的总方案数大大减少从而减少枚举

【例1】有一个N*M(N<=5,M<=1000)的棋盘，现在有1*2及2*1的小木块无数个，要盖满整个棋盘，有多少种方式？答案只需要mod1,000,000,007即可。

例如：对于一个2*2的棋盘，有两种方法，一种是使用2个1*2的，一种是使用2个2*1的。
在这道题目中,N和M的范围本应该是一样的，但实际上，N和M的范围却差别甚远，对于这种题目，首先应该想到的就是，正确算法与这两个范围有关！N的范围特别小，因此可以考虑使用状态压缩动态规划的思想.

假设第一列已经填满，则第二列的摆设方式，只与第一列对第二列的影响有关。同理，第三列的摆设方式也只与第二列对它的影响有关。那么，使用一个长度为N的二进制数state来表示这个影响。
因此，本题的状态可以这样表示：

dp[i][state]表示该填充第i列，第i-1列对它的影响是state的时候的方法数。i<=M,0<=state<2N

对于每一列，情况数也有很多，但由于N很小，所以可以采取搜索的办法去处理。对于每一列，搜索所有可能的放木块的情况，并记录它对下一列的影响，之后更新状态。状态转移方程如下：

dp[i][state]=∑dp[i-1][pre]每一个pre可以通过填放成为state

对于每一列的深度优先搜索，写法如下：

//第i列，枚举到了第j行，当前状态是state，对下一列的影响是nex
void dfs(int i,int j,int state,int nex)
{
	if (j==N)
	{
		dp[i+1][nex]+=dp[i][state];
		dp[i+1][nex]%=mod;
		return;
	}
	//如果这个位置已经被上一列所占用,直接跳过
	if (((1<<j)&state)>0)
		dfs(i,j+1,state,nex);
	//如果这个位置是空的，尝试放一个1*2的
	if (((1<<j)&state)==0)
		dfs(i,j+1,state,nex|(1<<j));
	//如果这个位置以及下一个位置都是空的，尝试放一个2*1的
	if (j+1<N && ((1<<j)&state)==0 && ((1<<(j+1))&state)==0)
		dfs(i,j+2,state,nex);
	return;
}

状态转移的方式如下：

for (int i=1;i<=M;i++)
	{
		for (int j=0;j<(1<<N);j++)
		if (dp[i][j])
		{
			dfs(i,0,j,0);
		}
	}

最终，答案就是dp[M+1][0]。