数据库作业15：第六章： 关系数据理论

第六章 关系数据理论

关系模式是一个五元组： R(U, D, DOM, F)，
R是符号化的元组语义，U为一组属性，D为属性组U中的属性所来自的域，DOM为属性到域的映射，F为属性组U上的一组数据依赖。
D、DOM与模式设计关系不大，只用到三元组：R。

数据依赖是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系，主要类型:
函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）
多值依赖（Multi-Valued Dependency，简记为MVD）

1.函数依赖【定义】设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r 中不可能存在：两个元组在X上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X→Y。X称为这个函数依赖的决定因素。
若X→Y，并且Y→X, 则记为X←→Y。
若Y不函数依赖于X, 则记为X$\nrightarrow$Y。

2.平凡函数依赖与非平凡函数依赖
X→Y，但Y⊈X则称X→Y是非平凡的函数依赖。
X→Y，但Y⊆X 则称X→Y是平凡的函数依赖。
平凡函数依赖必然成立，不反映新的语义，若不特别声明，总讨论非平凡函数依赖。

3.完全函数依赖与部分函数依赖
【定义】在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’, 都有 X’ $\nrightarrow$Y, 则称Y对X完全函数依赖.F
若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖.P

4.传递函数依赖【定义】在R(U)中，如果X→Y(Y⊈X)，Y$\nrightarrow$X，Y→Z，Z⊈Y, 则称Z对X传递函数依赖(transitive functional dependency)。记为：X → Z。
注: 如果Y→X, 即X←→Y，则Z直接依赖于X，而不是传递函数依赖。

多值依赖【定义】 设R(U)是属性集U上的一个关系模式。X,Y,Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对(x,z)值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。
若X→→Y，而Z＝Ф，则称X→→Y为平凡的多值依赖，否则称X→→Y为非平凡的多值依赖。

设K为R中的属性或属性组合。若K → U，则K称为R的一个候选码(Candidate Key)。
如果U部分函数依赖于K，即K → U,则K称为超码 。候选码是最小的超码，即K的任意真子集都不是候选码。
若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码(Primary key)。
关系模式 R中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码。
主码与外码一起提供了表示关系间联系的手段。
包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性。
不包含在任何码中的属性称为非主属性。
整个属性组是码，称为全码（All-key）。

范式是符合某一种级别的关系模式的集合。
某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF。
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化。

1NF：二维表每个分量必须是不可分开的数据项，满足了这个条件的关系模式就属于第一范式。

2NF

【定义】 若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于任何一个候选码，则R∈2NF。
一个关系模式不属于2NF，会产生插入异常，删除异常，修改复杂。出现这种问题的原因：有两类非主属性，一类对码完全函数依赖，另一类对码不是完全函数依赖。解决方法：用投影分解把关系模式分解，使得非主属性对码都是完全函数依赖了。

3NF

【定义】 设关系模式R∈1NF，若R中不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Y $⊈$ Z）, 使得X→Y，Y→Z，Y$\nrightarrow$X成立，则称R ∈ 3NF。
没有传递依赖
S-L中Sno →Sdept( Sdept$\nrightarrow$Sno), Sdept→Sloc，可得Sno → Sloc。
解决的办法是将S-L分解成S-D(Sno,Sdept)∈ 3NF，D-L(Sdept,Sloc)∈ 3NF

BCNF

通常认为BCNF是修正的第三范式，有时也称为扩充的第三范式。
【定义】 设关系模式R∈1NF，若X →Y且Y $⊈$X时X必含有码，则R∈BCNF。
换言之，在关系模式R中，如果每一个决定因素都含码，则R∈BCNF。

4NF

【定义】 关系模式R∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y ⊈ X），X都含有码，则R∈4NF。
如果一个关系模式是4NF， 则必为BCNF。
4NF所允许的非平凡多值依赖是函数依赖。

不能说规范化程度越高的关系模式就越好。必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式。上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止。

闭包（记作X${}^{+}$ ）是由X直接或间接推导出的所有属性的集合。
对于给定的关系R（A1，A2，…An）和函数依赖集F，可将其属性分为4类：
L类：仅出现在函数依赖左部的属性。
R 类：仅出现在函数依赖右部的属性。
N 类：在函数依赖左右两边均未出现的属性。
LR类：在函数依赖左右两边均出现的属性。
定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）:
是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员；
是L类属性，且X+包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选码；
是R类属性，则X不在任何候选码中；
是N类属性，则X必包含在R的任一候选码中；
是L类和N类组成的属性集，且X+包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选码。

【注】
AB→D 等价于 （A,B）→ D
D→BF 等价于 D→B, D→F

学生：学号、姓名、出生年月、系名、班号、宿舍区
班级：班号、专业名、系名、班级人数、入校年份
系：系名、系号、系办公室地点、系人数
学会：学会名、成立年份、地点、学会人数

一个系有若干专业（设无相同专业名在不同系）：专业名$\to$系名
每个专业每年只招一个班（设班号不同）：（专业名，入校年份）$\leftarrow \to$班号
每个班若干学生（设学生只能属于一个班）：学号$\to$班号
一个系的学生住同一宿舍：系名$\to$宿舍区
学生参加某学会有一个入会年份：（学号，学会名）$\to$入会年份

关系模式：
学生（学号、姓名、出生年月、班号）
候选码：学号。外部码：班号。
班级（班号、专业名、班级人数、入校年份）
候选码：班号、（专业名，入校年份）。
专业(专业名，系名)
候选码：专业名。外部码：系名。
系（系名、系号、系办公室地点、系人数，宿舍区）
候选码：系号、系名。
学会（学会名、成立年份、地点、学会人数）
候选码：学会名。
学生参加学会（学号，学会名，入会年份）
候选码：（学号，学会名）。
不存在传递函数依赖、部分函数依赖。

6、
(1)
A$\to$BCDE, BCDE$⊈$A, A是码；
BC$\to$DE, DE$⊈$BC, BC必含有码.
BC含有码时是BCNF。
(2)
L:C,E，C,E必为任一候选码的成员。LR:A,B,D。
(ACE)${}^{+}$=ABCDE; (BCE)${}^{+}$=ABCDE; (CDE)${}^{+}$=ABCDE.
码：ACE, BCE, CDE.
(3)
不存在非主属性，属于3NF.
A, BC, DE不含码，不属于BCNF。

7、
(1)正确：二目关系不存在码X、属性组Y及非主属性Z，属于3NF。
(2)正确
(3)正确：二目关系不存在多值依赖，属于4NF。
(4)正确 错误：当且仅当错，反之不然。
(5)正确
(6)正确
(7)正确
(8)错误：例：SC.(Sno,Cno)$\to$SC.Grade, SC.Sno$\nrightarrow$SC.Grade，SC.Cno$\nrightarrow$ SC.Grade.

8、
(1)若R是BCNF，X →Y且Y $⊈$X时X必含有码，每一个决定因素都含码。
R中不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Y $⊈$ Z）, 使得X→Y，Y→Z，Y$\nrightarrow$X成立。因为每一个决定因素都含码，Y含码，Y$\to$X成立，是3NF。
(2)若R不属于2NF，R中有非主属性部分函数依赖于任一个候选码，
则存在X→Y(Y⊈X)，Y$\nrightarrow$X，Y→Z，Z⊈Y, 不属于3NF。

附加题：
一．
Y(X1,X2,X3,X4)
(X1,X2)→X3
X2→X4
侯选码？属于第几范式？
解：
因为X2→X4，所以(X1,X2)→X4；又因为(X1,X2)→X3，所以(X1,X2)→(X1,X2,X3,X4)。因此：候选码：（X1,X2）；
非主属性：X3,X4。因为(X1,X2)→X4, X2→X4，存在非主属性X4对候选码（X1,X2）的部分函数依赖；所以不属于2NF。
结论：候选码（X1,X2），属于第一范式。

二．
R（A，B，C，D）
F={AB→D，AC→BD，B→C}
侯选码？最高属于第几范式？
解：
考察F发现，A属性是L类属性，所以A必是R的候选码成员；
D属性是R类属性，则D不在任何候选码中；
因为(AB)${}^{+}$=ABCD，所以AB是R的候选码;
因为(AC)${}^{+}$=ABCD，所以AC是R的候选码;
非主属性：D，不存在非主属性D对候选码的部分函数依赖，所以属于2NF；
B →C且C $⊈$B，B不含码，不属于BCNF。
答案：
候选码：(A,B),(A,C)
非主属性：D
属于3NF 因为D没有部分依赖或传递依赖于码
不属于BCNF 因为B→C,B不包含码

三．
R（X，Y，Z，W）
F={Y←→W，XY→Z}
侯选码？最高属于第几范式？
解：
考察F发现，X属性是L类属性，所以X必是R的候选码成员；
Z属性是R类属性，则Z不在任何候选码中；
因为(XY)${}^{+}$=XYZW，所以XY是R的候选码;
因为(XW)${}^{+}$=XYZW，所以XW是R的候选码;
非主属性：Z，不存在非主属性Z对候选码的部分函数依赖，所以属于2NF；
Y →W且W $⊈$Y，Y不含码，不属于BCNF。
答案：
XY→X,XY→Y,XY→Z,Y→W,XY→W 所以 XY是key
WX→X,WX→W, W→Y,XW→XY,XY→Z,XW→Z,WX→W,W→Y,WX→Y 所以WX是key
是2NF，因为Z完全依赖于码（非主属性只有Z）
是3NF，因为Z没有传递依赖于码
不是BCNF W→Y，决定者不包含key
所以最高为3NF

四.
R（A,B,C,D,E）
F={A→B,CE→A,E→D}
候选码？最高属于第几范式，为什么？分解到3NF。
解：
C,E属性是L类属性， (CE)${}^{+}$=ABCDE，CE为R的唯一候选码。
非主属性：A,B,D，存在非主属性D对候选码CE的部分函数依赖E→D，所以不属于2NF。最高属于第一范式。
分解成R1(A,B,A→B)，R2(E,D,E→D)，R3(A,C,E,CE→A)。
答案：
1 候选码：（C，E）
2 最高属于1NF
CE→E，CE→D，E→D 非主属性E对CE存在部分函数依赖
3 首先分解到2NF
R1（A，B，C，E），R2（D，E）
因为 CE→A，A∕→CE，A→B ，存在非码对码的传递函数依赖
所以不属于3NF
分解为：R1（A，C，E），R2（A，B），R3（D，E）

五.
R(商店编号，商品编号，数量，部门编号，负责人)
每个商店的每种商品只在一个部门销售，
每个商店的每个部门只有一个负责人，
每个商店的每种商品只有一个库存数量。
求候选码。 R已达第几范式？为什么？ 若不属于3NF，分解成3NF。
解：
(商店编号，商品编号)$\to$部门编号；
(商店编号，部门编号)$\to$负责人；
(商店编号，商品编号)$\to$数量；
L类属性：商店编号，商品编号； (商店编号，商品编号)${}^{+}$=(商店编号，商品编号，数量，部门编号，负责人)；(商店编号，商品编号)为R的唯一候选码。
非主属性：数量，部门编号，负责人。不存在非主属性对候选码的部分函数依赖，属于2NF。
X(商店编号，商品编号)、Y(商店编号，部门编号)、Z(负责人)，R中存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Y $⊈$ Z）, 使得X→Y，Y→Z成立，Y$\nrightarrow$X，不属于3NF。
分解：R1(商店编号，商品编号，数量，部门编号，(商店编号，商品编号)$\to$部门编号，(商店编号，商品编号)$\to$数量)，
R2(商店编号，部门编号，负责人，(商店编号，部门编号)$\to$负责人)
答案：
1 候选码：（商店编号，商品编号）
2 R已达2NF
负责人（非码）对码存在传递函数依赖
（商店编号，商品编号）→(商店编号，部门编号)
(商店编号，部门编号) →负责人
3 分解成3NF
R1(商店编号，商品编号，数量，部门编号)
R2(商店编号，部门编号，负责人)

六．
R(A,B,C,D,E,F) F={A→C,AB→D,C→E,D→BF}
写出关键字。 分解到2NF。 分解到3NF。 分解到4NF。
解：
L类属性A是R的候选码成员，(A)${}^{+}$=ACE；R类属性E,F不在任何候选码中；
因为(AB)${}^{+}$=ABCDEF，所以AB是R的候选码;
因为(AD)${}^{+}$=ABCDEF，所以AD是R的候选码;
非主属性：C,E,F，
存在非主属性C对候选码的部分函数依赖A→C，
存在非主属性F对候选码的部分函数依赖D→F，
不属于2NF；
分解到2NF：R1(A,C,E,A→C,C→E)，R2(D,F,D→F)，R3(A,B,D,AB→D,D→B).
分解到3NF：R1(A,C,A→C)，R4(C,E,C→E)，R2(D,F,D→F)，R3(A,B,D).
分解到4NF：R1(A,C,A→C)，R4(C,E,C→E)，R2(D,F,D→F)，R3(A,B,D) .
答案：
1 关键字：（A，B），（A，D）
2 分解到2NF
AB→A，A→C 所以 AB→C，A→C 部分函数依赖
AD→F，D→F也是部分函数依赖
因此，分解为：R1（A，B，D），R2（A，C，E），R3（D，F）
------------------E由C确定，所以放到R2
3 A→C，C\→A，C→E 传递依赖
分为 （A，C），（C，E）
因此R1（A，B，D），R2（A，C），R3（C，E），R4（D，F）
4 D→B，D不包含码
R1 分解成 （A，D），（D，B）
因此 R1（A，B），R2（B，D），R3（A，C），R4（C，E），R5（D，F）