PKUWC2020 题意口胡

Day1

T1：
给出一个排列 $P$，令 $f(P)$ 表示所有字典序比 $P$ 小的排列串成的串，问 $f(P)$ 本质不同的子串个数，$n\le 50$

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T2：
给出 $n$ 个集合，一开始每个集合只有一个数，每次随机合并两个集合，直到只剩下 $k$ 个
最后的答案 $f(k)$ 是对这 $k$ 个集合的贡献求和，每个集合的贡献是 $(max(S)-min(S){)}^2$，求 $f(l\dots r)$ 的期望

简要题解：
考虑钦定选一个集合 S，那么它的贡献就是 $(max(S)-min(S){)}^2$，乘上存在集合 $S$ 的概率
显然只与集合的大小有关，于是需要求出 $g(i,k)$ 表示 ，最后剩下 $k$ 个存在 $|S|=i$ 的概率
另外令 $f(i)$ 表示所有大小为 $i$ 的集合的贡献和
先考虑 $f(i)$，考虑钦定一个最大值和一个最小值
$$f(i)=\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(a_r-a_l{)}^2\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{r-l-1}{i-2})$$
后面只与 $r-l-1$ 有关，于是转换为求出所有 $r-l-1$ 为某一个定值的所有 $l,r$ 的贡献
拆开就可以卷积实现
考虑求 $g(i,k)$，令 $D(n)$ 表示把 $n$ 个合并成一个的方案数，那么显然
$$D(n)=\prod _{i=2}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2}\right)$$
那么将 $n$ 个合并成 $k$ 个的方案数就是 $D(n)/D(k)$
于是有
$$g(i,k)=\frac{D(k)}{D(n)}\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i-1}\right)\ast D(i)\ast \frac{D(n-i)}{D(k-1)}$$

意义是把 $i$ 个集合合并成一个，再把 $n-i$ 个集合合并成 $k-1$ 个，有序拼接，再除一个总方案数
$$Ans(k)=\sum _{i=1}^{n}f(i)\ast g(i,k)$$
展开用 $NTT$ 优化即可
细节记不太清，希望大家指出错误
大概就是钦定集合，转成集合大小，枚举最大最小组合数算方案，然后算出概率，用卷积优化

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T3：给一个矩阵，有 $p\le 1e5$ 个操作来初始化，给定 $s,l,r,x$ 将所有与 $s$ 互质的行的 $[l,r]$ 加上 $x$
有 $q\le 5e4$ 个询问，$s,l,r$ 表示询问所有与 $s$ 互质的行的 $[l,r]$ 的和
$n,m\le 5e4$

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Day2

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T1:你有 $n$ 条鱼，每条为毒鱼或小鱼，敌方有圣盾鱼和大鱼
任意鱼和圣盾鱼对战后都会将圣盾鱼变成大鱼，只有毒鱼和大鱼对战能杀死大鱼，小鱼对战大鱼无影响
$q$ 次询问 $(k,x)$ 表示，在对方开始时已经有 $x$ 条大鱼的情况下，你用$1-k$ 的鱼依次与对方对战，假设有 $y$ 条圣盾鱼，最大化 $y$ 使得能全部打完
$n,q\le 4e5$

好像方法很多，线性可以随便做，但还是说一下我的奇葩方法
如果当前是小鱼，那么破盾，如果是毒鱼，那么就杀死大鱼将 ans++
如果没有大鱼，那么毒鱼用来破盾
考虑离线下来做一个前缀，维护每一个 $x$ 的答案
动态维护剩下多少大鱼，相当于动态维护一个数组，如果是毒鱼就是将为 0 的地方变成 1，将不为 0 的地方减 1 并将答案加 1，否则全部加 1
维护每一个权值的集合，发现只有合并，带权并查集维护

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T2：给定 $\{a_0,a_1,...,a_n\},\{p_0,p_1,...,p_n\}$，p 表示分式的横线长度也就是分式运算的优先级，问 $p_l...p_r$ 组成的分式的值，$n,q\le 5e5$

考场打的单调栈，但是有 35 没写怪可惜的
考虑一个数的贡献是本身还是逆元，发现跟单调栈的奇偶性有关，于是可以离线下来，维护每一个 $l$ 的答案，考虑 $r$ 的贡献就可以做，就是将据 $r$ 有奇数段的全部乘逆元，有偶数段的乘本身
这样复杂度是O(段数)，只能过随机数据，但类似刚刚的带权并查集对奇数段和偶数段分别维护就可以了

还有一种方法就是建出一个类似线段树的东西查询，同样随便过随机数据，考虑求出一个结点以 $mid$为分界点的前缀和后缀的答案，这样一个区间只会在第一个被切开的地方求出答案
考虑一个后缀吧，是由右儿子的后缀和右儿子的全部以及左儿子的后缀组成，后面这个玩意就是将左儿子的后缀全部除一个数，线段树合并即可

还可以对建出的树用广义线段树处理，以后再学（FLAG）

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T3：有一个大环顺次连接 $(i,i+1)$ 边权为 $1e9$，令给出 $m\le 1e5$ 条边，边权为 $w_i\le 1e4$，求任意两个点的最小割之和，$n\le 7e3$

显然只会段两条边，枚举两条边，那么最小割就是两条边的权值加上穿过中间的权值，预处理二维前缀和就可以 $O(1)$ 得到，考虑哪些点对可以以这个最小割为答案，同样是一个矩阵
于是就是矩阵覆盖单点 $min$ 可以 $O(n^{2}log(n{)}^2)$
正解好像是用最小割树，只求 $O(n)$ 次最小割，只要每次做到 $O(n)$ 就可以了，但还不是很会（FLAG）