JavaScript图形实例：再谈曲线方程

      在“JavaScript图形实例：曲线方程”一文中，我们给出了15个曲线方程绘制图形的实例。在本文中，我们继续讨论一下曲线方程。在本文中，我们讨论的方法时，先给出一个绘制特定图案的曲线方程，然后将方程中的一些取值参数化，然后看看这些参数取不同值时会绘制出怎样的图形，从而通过试探加猜测的方式找出一些绘制精美曲线图案的曲线方程。

1．四叶花瓣线

四叶花瓣线的笛卡尔坐标方程式设定为：

    x=r*cos(2θ)*sin(θ)

    y=r* sin(2θ)*cos(θ)       （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出四叶花瓣线图案，如图1所示。

  

图1  4叶花瓣线

下面将四叶花瓣线的笛卡尔坐标方程式参数化为：

    x=r*cos(nθ)*sin(θ)

    y=r* sin(nθ)*cos(θ)       （0≤θ≤2π）

编写程序，在画布中绘制出n=1~10时的图案。编写的HTML文件内容如下。

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出如图2所示花瓣线图案。

  

图2 花瓣线图案

      图2中的10个图案从上到下，从左往右对应着N取值为1~10时的情况。由图2可知，当N为奇数时，花卉线为N瓣；当N为偶数时，花瓣线为2*N瓣。

      能否给定N就绘制N瓣花呢？

将坐标方程修改如下：

    x = r*(1/2+1/2*sin(nθ))*cos(θ)

    y = r*(1/2+1/2*sin(nθ))*sin(θ)      （0≤θ≤2π）

编写HTML文件内容如下。

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出如图3所示的N（N为1~10）叶花瓣线图案。

  

图3  N叶花瓣线图案

我们还可以将四叶花瓣线的笛卡尔坐标方程式参数化为：

x=r*(1/5*sin(n*p*θ)+sin(n*θ))*cos(θ)

y=r*(1/5*sin(n*p*θ)+sin(n*θ))*sin(θ)         （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML文件。

花瓣数

花形：

在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出如图4所示的花卉线图案。

 

图4  可设置参数的N瓣花卉图

      由图4可以看出，由于参数方程中和一个正弦P次波进行了合成，因此花卉的花瓣形状会发生改变。

2．花型图案

根据参数方程：

    x=r*(sin(n*0.5*θ)/3+sin(n*θ))*cos(2*θ)

    y=r*(sin(n*0.5*θ)/3+sin(n*θ))*sin(2*θ)       （0≤θ≤2π）

编写的HTML文件内容如下。

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以在画布中绘制出N=1~10的10种花型图案，如图5所示。

  

图5  花型图案1

      先将上面代码中的语句“x=px+r*Math.cos(2*theta);”和“y=py+r*Math.sin(2*theta);”中的“2*theta”均修改为“4*theta”，则在画布中绘制出如图6所示的图案；若再将语句“r=b/3*Math.sin(n*0.5*theta)+b*Math.sin(n*theta);”中的“n*0.5*theta”修改为“n*theta”，则在画布中绘制出如图7所示的图案。

  

图6  花型图案2

  

图7  花型图案3

      在这30个图案中，有你喜欢的吗？

3．曲线图案1

根据参数方程：

    x=r*sin(n*θ)*cos(5*θ)

    y=r*sin((n+k)*θ)*sin(5*θ)       （0≤θ≤2π）

编写的HTML文件内容如下。

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出的曲线图案1-1，如图8所示。

       在图8中绘制了5行5列共25个曲线图案。其中，第1行是参数方程中n取值为2，k取值依次为1,2,3,4,5的5个图案；第2行是参数方程中n取值为4，k取值依次为1,2,3,4,5的5个图案；……；第5行是参数方程中n取值为10，k取值依次为1,2,3,4,5的5个图案。

 

图8  曲线图案1-1            

      绘制图8程序中，求x和y坐标的语句中，均有“5*theta”，这里“5”作为倍数（不妨设为参数p）也可以修改。例如，修改两语句中的“5*theta”为“theta”，则在画布中绘制出如图9所示的曲线图案1-2。修改两语句中的“5*theta”为“2*theta”，则在画布中绘制出如图10所示的曲线图案1-3。

  

图9  曲线图案1-2

 

图10  曲线图案1-3

      再如，直接修改绘制图8程序代码中的语句“var n=0;”为“var n=1；”，其余部分不变，则在画布中绘制出如图11所示的曲线图案4。这些图案是N分别取3,5,7,9,11，k分别取1~5，p取5时所对应的曲线图案。

 

图11 曲线图案1-4

      对照图8、9、10、11，通过修改n、k和p，你会找到你喜欢的图案吗？

4．曲线图案2

修改曲线图案1中的参数方程为：

    x= r*sin((n+k)*θ)*cos(p*θ)

    y= r*sin(n*θ)*sin(p*θ)       （0≤θ≤2π）

编写的HTML文件内容如下。

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出的曲线图案2-1，如图12所示。

在图12中绘制了5行5列共25个曲线图案。其中，第i行第j列的曲线图案对应参数值n=i，k=j。

  

图12  曲线图案2-1

      直接修改绘制图12程序代码中的语句“p=1;”为“p=4；”，其余部分不变，则在画布中绘制出如图13所示的曲线图案2-2。

 

图13  曲线图案2-2