【算法设计与分析】三个博弈论算法分析

主要讨论三个比较常见的博弈游戏

Bash Game,Nim Game和Wythoff Game,较为领人惊叹的是,他们最后都是通过数论或者自然数性质完美解决:

Bash    Game:同余理论

Nim      Game:异或理论

Wythoff Game:黄金分割

(1)Bash Game:一堆n个物品,两人轮流取,每次取1至m个,最后取完者胜

          比如10个物品,每次只能取1到5个,则先手方必赢

        1.面对[1...m]个局面,必胜
        2.面对m+1个局面,必输
        3.如果可以使对手面临必输局面,那么是必赢局面
        4.如果不能使对手面临必输局面,那么是必输局面


基础:1      ,      2, ...,        m是必赢局面,   m+1是必输局面
递推:m+2,m+3, ... ,2m+1是必赢局面,2m+2是必输局面 
             ...

            k(m+1)是必输局面,应该允许k=0,因为0显然也是必输局面    

在必输局和必赢局中,赢的一方的策略是: 拿掉部分物品,使对方面临k(m+1)的局面 

例如上例中10个物品,只能拿1到5个,先手方拿4个即可,对手无论拿多少个,你下次总能拿完

从另一个角度思考这个问题,如果物品数量随机,那么先手一方胜利的概率是m/(m+1),后手方胜利的概率是1/(m+1)



(2)Nim   Game: m堆n个物品,两人轮流取,每次取某堆中不少于1个,最后取完者胜

详细分析见:POJ-2234:Matches Game

所有物品数目二进制异或    为0,则先手必输
所有物品数目二进制异或不为0,则后手必输
从另一个角度思考这个问题,如果物品数量随机,那么每个数目的每一位上1或0概率相同,
如果有奇数个堆,那么1的个数为偶数或者奇数的概率相同,
如果有偶数个堆,那么1的个数为偶数的概率略大1/(m+1),
也就是说异或结果的每一位为0或1的概率几乎差不多,而先手必输要求异或结果每一位都为0,其实输的概率很小




(3)Wythoff Game:两堆(ak,bk)(ak<=bk)个物品,两人轮流取,每次从一堆中取k个或者从2堆中同时取k个,最后面对(0,0)局面的输(设ak<=bk是为了忽略顺序的影响)

1.面对(0,0)局面必输

2.面对(1,1)(2,2)...(n,n)局面必赢
            (0,1)(0,2)...(0,n)局面必赢
3.如果可以使对手面临必输局面,那么是必赢局面
4.如果不能使对手面临必输局面,那么是必输局面      


基础:(0,0)是必输局面;(0,1)(0 ,2)...(0,n)是必赢局面,
递推:(1,2)是必输局面;(1,1)是必赢局面
                                          (1,3)(1 ,4)...(1,n)是必赢局面
                                          (2,2),(2,3)...(2,n)是必赢局面
             (3,5)是必输局面;(3,3)(3,4)是必赢局面
                                           (3,6)(3,7)...(3,n)是必赢局面
                                           (5,5)(5,6)...(5,n)是必赢局面
             (4,7)是必输局面;(4,4)(4,5)(4,6)是必赢局面
                                           (4,8)(4,8)(4,9)...(4,n)是必赢局面
                                           (7,7)(7,8)(7,9)...(7,n)是必赢局面
             (6,10)是必输局面;(6,6)(6,7)(6,8)(6,9)是必赢局面
                                            (6,11)(6,12)(6,13)...(6,n)是必赢局面
                                            (10,10)(10,11)(10,12)...(10,n)是必赢局面
首先发现规律:(必输局面的规律比较容易找到)
ak是前面必输局未出现的数中最小者,
bk=ak+k( k=0,1,2,3,...n)

下面介绍必输局(奇异局)的最重要性质:

1,2,...,n中每一个自然数,出现且只出现在一个奇异局中。
推导:1.由于ak总是选择未出现的数,所以每个数总能出现在奇异局中
               且ak不会选择到重复的数
             2.bk=ak+k,所以bk总是比前面所有奇异局出现的数都大,
                所以bk不会选择到重复的数

必赢一方的策略是:始终让对手面对必输局(奇异局)


给定任意局势(a,b),判定(a,b)是否为必输局的方法是:

   k=0,1...n 记黄金比例是φ=1.618033
  ak=[k*φ],bk=ak+k=[k*φ*φ]
   如k=0,ak=0,bk=0
     k=1,ak=1,bk=2
     k=2,ak=3,bk=5     k=3,ak=4,bk=7

更好的一种判断策略是 k = bk-ak ,如ak=k*φ时,当前局势为奇异局


从胜负概率角度,如果堆中数量随机,先手一方优势很大

(相应经典题目是POJ-1067)


三个十分相似的游戏,但局势的判断和必胜策略差异却很大,但却又都来自数的性质,这不得不说是一件让人惊奇的事情。


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