叶丙成-概率-chapter1-基础知识

国立台湾大学叶丙成《机率》课程学习-chapter1-基础知识篇

1.概率概论

1. 为什么要研究概率
   • 我们对世界了解的太少，世界的很多运作是未知的
   • 世界上的事情不见得都是必然的(deterministic),有很多事情是有随机性的(random)
2. 概率与统计的差异
   • 概率：概率模型已知，要学会怎么计算某些事件的概率
   • 统计：概率模型未知，要学会怎么从大量的实验结果中去建立概率模型

2.集合论

1. 全集(universal set):$S$
2. 空集(empty set):$\varphi$
3. 交集(intersection)
4. 并集(union)
5. 补集(complement)
6. 差集(difference)
7. 不相交(disjoint)
8. 互斥(mutually exclusive):若一组集合$X_1,X_2,\dots ,X_n$中任意两个集合都不相交，则我们才称这组集合互斥。
9. De Morgan’s laws(德·摩根定律):$(A\bigcup B{)}^c=A^c\bigcap B^c$
   证明：
   $\to$
   $$假设x\in (A\bigcup B{)}^c$$
   $$\Rightarrow x\notin A\bigcup B$$
   $$\Rightarrow x\notin Aandx\notin B$$
   $$\Rightarrow x\in A^{c}andx\in B^c$$
   $$\Rightarrow (A\bigcup B{)}^c\subseteq (A^c\bigcap B^c)$$
   $\leftarrow$
   $$假设x\in (A^c\bigcap B^c)$$
   $$\Rightarrow x\notin Aandx\notin B$$
   $$ifx\notin (A\bigcup B{)}^c$$
   $$\Rightarrow x\in (A\bigcup B)\Rightarrow x\in Aorx\in B\to \leftarrow 矛盾$$
   $$Thusx\in (A\bigcup B{)}^c\Rightarrow (A^c\bigcap B^c)\subseteq (A\bigcup B{)}^c$$

3.概率名词

1. 实验(experiment)：
   一个概率实验包含了：步骤(procedures)、模型(model)、观察(obversions)、结果(outcome)
2. 样本空间(sample space)：概率实验所有可能的集合，用$S表示$
3. 事件(event)：指对于实验结果的某种叙述
4. 概率就是实验结果符合某事件叙述的机会有多大
5. 在数学上，事件可以看成是结果的集合，也就是样本空间的子集
6. 事件空间(event space)(set of sets)：所有可能事件的集合，包含$\varphi ,S$。若样本空间$S=\{o_1,o_2,\dots ,o_n\}$，有$n$个结果。计算公式，有$2^n$个事件的集合。
   概率是一个函数，其自变量是事件
   $P(事件)=0.6\Rightarrow 概率函数的自变量是：事件$
   概率可以看成是一个映射，
   概率函数是从事件空间映射到$[0,1]$
   $P:事件空间\to [0,1]$

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  作者：togetlife