数据结构与算法复习笔记

1. 算法分析

2. 表、栈和队列

2.1 抽象数据类型

• 什么是ADT:

2.2 表ADT

• 前继和后继
• ArrayList和LinkedList特点：
• ArrayList查找和修改速度快，插入和删除速度慢，因其使用数组实现，对于插入/删除点后的元素需要重新给id赋值，但查找和修改可以根据下标直接操作。
• LinkedList插入和删除速度快，查找速度慢，因其用双向链表，插入/删除不只影响相邻点，但查找/修改需要从头/尾遍历。

3.3栈

• 先进后出
• 中缀转后缀：
  
  • 操作数直接转输出
  • 操作符使用栈处理
  • 新操作符与栈顶元素比较，若优先级小于等于栈顶，则栈顶弹出。然后新操作入栈，否则新操作符直接压入。
  • 对于”(“，直接入栈，只有在新操作符为“）”时，将其上所有元素弹出。
• 链表实现和数组实现

3.4 队列

• 先进先出
• 数组实现
• 用于服务器区块的响应，使用排队论解决响应与阻塞问题。

3. 树

• 大部分树拥有 O(logN) 的平均深度。
• 深度：从根到 nk 的最短路径，高度：从 nk 到树叶的最长路径
• 根的深度为0，树叶的高度为0。
• 从 n1 到 nk 的节点序列为 n1 到 nk 的路径。
• 三种遍历：
  
  • 先序遍历：先父节点，后左，最后右
  • 中序遍历：先左，后父节点，最后右
  • 后序遍历：先左，后右，最后父节点

3.1 二叉树

• 每个节点的子节点不超过2两个
• 一般使用二叉查找树

3.2 ADT查找树

• 左子树每一个节点小于右子树的每一个节点
• 二叉树类总是支持comparable 的接口，使用compareTo来比较树内的每一项
• boolean contains()，BinaryNode findMin()，BinaryNode findMax()
• BinaryNode insert()：查找，若不重复则插入到最后查找点的左/右子节点。
• BinaryNode remove()：
  
  • 若删除节点只有一个子节点，该子节点替代之
  • 若有两个子节点，则寻找 右边最小项 替代之
• 对于有重复项的树，使用额外的空间（如表）记录节点频率
• 懒惰删除：仅标记为删除，节点频率减一，不实际从树中删去

3.3 AVL树

• 带有平衡条件的二叉查找树
• |H(leftTree)−H(rightTree)|≤1
• 除了可能的插入操作外，其他操作（查询，修改，删除）的时间复杂度都为 O(logN)
• 插入新点后再平衡的策略为：
  
  • 从高度最大的不平衡子树的根节点开始：
  • 若新插入点在左儿子的左子树或右儿子的右子树，使用单旋转
    
    • 设不平衡子树的根节点为 k1 ,过深子树的儿子为 k2
    • 将 k1 父节点作为 k2 父节点， k2 作为 k1 的父节点， k1 作为 k2 的左/右子节点
    • 原 k2 的左/右节点成为 k1 的右/左节点
  • 若新插入点在左儿子的右子树或右儿子的左子树，使用双旋转，双旋转等于两次单旋转，第一次对于不平衡子树的较深子树进行，第二次对于整个不平衡子树进行
    
    • 设不平衡子树根节点为 k1 ，该子树的较深子树根节点为 k2 ，以 k2 作为根节点的子树的较深子树为 k3 。
    • 先对较深子树( k2 )进行一次单旋转，完成旋转后 k3 为该子树的根节点
    • 再对以 k1 为根节点， k3 为子节点的子树进行单旋转，结果 k3 成为根节点。

3.4 伸展树

• 保证M次操作时间： O(MlogN)
• 对于某一节点的访问将激活伸展操作
  
  • 伸展操作的结果是该节点上升到根，收益为减少下次访问时间，同时可能减小树的深度
  • 伸展操作分为“一字型”和“之字形”
  • 设操作节点为 X，其父节点为P,P的父节点为G
  • 一字型： X与P的左右关系和P与G的左右关系相同
  • 之字型： X与P的左右关系和P与G的左右关系不相同
  • 若为之字形，从 X开始向G做两次单旋转 ，否则从 G向X 做两次单旋转，最终结果相同， X成为根节点
  • 删除时，可访问某一节点，将其升到根节点后删去，并取其左子树的最大叶节点替代

3.5 树的遍历

• 先序遍历：中左右
• 中序遍历：左中右
• 后序遍历：左右中
• 层序遍历：从上到下

3.5 B树

• B树是具有阶数M的不定叉树
• B树主要处理的目的是使得树在一定程度上更扁平化，因为判断分支所的计算花销要远小于读取数据指令，通过增加分叉树来减少读取数据的次数。
• 一个具有M阶的B树具有以下特性：
  
  • 根节点必须是一个叶节点或拥有2到M个子节点
  • 每个非叶非根节点必须拥有 [M2,M]个子节点
  • 每个非叶节点使用M-1个关键字划分出M个子树
  • 所有叶节点拥有同样的高度
  • 每个叶节点包含一个数据块，包含 [L2,L]个数据
• 一个M阶B树的结构定性如下：
  
  • 设每个磁盘区块容量为D字节，每个数据占用X个字节
  • 对于每个节点含有M-1个关键值，占用 X∗(M−1)字节 ，同时分出M个子节点，使用4个字节记录每个子节点的磁盘地址。所以每个节点占用 X∗(M−1)+4M=(X+4)∗M−X个字节的地址 ，受限于区块容量限制，有 (X+4)∗M−X≤D ，由此解出M。
  • 对于叶节点，同样受限于区块容量限制，有 L∗X≤D,求出L
• B树的插入和删除
  
  • B树操作的最坏时间由 logM2N 近似给出有。
• B树的插入操作：
  
  • 简单的插入可能存在叶节点数据量大于 L 的问题。
  • 当叶节点容量不足以加入新数据时，向上取父节点P，若P的关键数小于M-1，添加新的关键值进行分裂。否则，再继续向上尝试分裂父节点，直到成功为止。若到达根节点，则向上增加一层。
  • 这是B树唯一的增高方式，也是根节点允许只拥有两个子树的原因。
  • 另一种方式插入方式：
    
    • 改变父节点的关键值，将合适的子树转入与父节点相邻的子树下。该方法使叶节点的数量区域饱和，适用于长时间运行的项目。
• B树的删除操作：
  
  • 简单删除存在叶节点的数据量小于 L2 的问题
  • 同样的，可以在删除后从父节点的相邻子树领养一个数据来解决，当相邻节点已达到最小值时 L2 ，则将该节点与相邻节点合并
  • 节点合并可能会导致父节点的子树少于 M2 的情况，因此需要继续合并或领养。
  • 当合并到达根节点的时候，不允许根节点仅有一个子节点，此时删除根节点，树高度减一。
  • 这是唯一的减少树高度的方法。

3.6 Set和Map

• Set接口是一种不允许值重复的Collection, TreeSet是保证数值有序的Set的实现
• TreeSet提供自然排序和定制排序：
  
  • 自然排序默认使用Object自带的Compare函数进行比较以确定是否重复。
  • 定制排序在实例化时传入Camparetor实例来定义比较结果，0为相同
• TreeSet由于数据的顺序性，提供first(),last(), subset(Obj, Obj), headset(Obj), tailSet(Obj), higher(Obj), lower(Obj)方法。
• Map接口是由键值对构成的Collection，其中键是不可重复的，但是值可以，TreeMap是SortedMap的实现，其中的键是有序排列的。

4. 散列

5. 优先队列（堆）

5.1 堆概述

• 堆的作用是对最小元素进行常数时间的读取
• 堆一般主要用于顺序管理
• 堆的两性：
  
  • 堆序性质：父节点恒小于等于左右子节点
  • 结构性质：总是完全二叉树，叶节点从左到右填满

5.2 二叉堆：

• 二叉堆可以使用数组实现：任意节点 i 的子节点位于 2i 和 2i+1 上
• 二叉堆的插入/上滤（最坏O(logN)）：
  
  1. 先插入末尾空位
  2. 检查是否符合堆序性质
  3. 若不符合则与父节点换位
  4. 重复2,3直到符合堆序性质
• 二叉堆的堆顶删除/下滤：
  
  1. 先删除堆顶节点
  2. 将末尾节点填入堆顶
  3. 检查是否符合堆序性质
  4. 若不符合，和较小的子节点换位
  5. 重复3,4直到满足堆序性质

5.3 左式堆

• 左式堆满足堆的堆序性质
• 左式堆的节点除了记录根节点，左右子节点外，还需要记录零路径长。
• 左式堆的结构性质：
  
  • 零路径长npl(null path length)：到最近不含双子节点的节点的距离
  • 左式堆的任意左子节点的零路径长大于等于兄弟右节点的零路径长
• 左式堆的优点：
• 左式堆的合并排序
  
  • 合并操作使用递归进行
  • 将 根节点较大的子树 H1 与 根节点较小子树的右子树 H2 合并，返回值作为 H2 的新右子树
  • 若其中一个子树为空，则返回另一子树
  • 若 H2 左子树为空，则将 H1 作为 H2 的左子树，并返回
  • 在迭代返回中，检测每个左右节点的npl，若不满足左式堆性质，则交换左右子树，并更新npl

排序

不相交集类

图论算法

算法设计技巧