图像边缘检测——二阶微分算子（上）Laplace算子、LOG算子、DOG算子（Matlab实现）

如果图像灰度变化剧烈，进行一阶微分则会形成一个局部的极值，由数学上的知识，对图像进行二阶微分则会形成一个过零点，并且在零点两边产生一个波峰和波谷，我们要设定一个阈值，检测到这个过零点，如下图所示：

带来了两个好处：

1. 二阶微分关心的是图像灰度的突变而不强调灰度缓慢变化的区域，对边缘的定位能力更强。

2. Laplace算子是各项同性的，即具有旋转不变性（后面会证明），在一阶微分里，我们是用|dx|+|dy|来近似一个点的梯度的，当图像旋转一个角度时，这个值就变化了，但对于Laplace算子来说不管图像怎么旋转，得到的响应是一样的。

一个注意点：

我们检测的必须是“过零点“，而不单单是零点，也就是要保证这个被选中的点一定要是局部极值点。比如下面这个例子，上面的曲线是图像空间，虚线处的点并不是图像的局部极值点，但求二阶导的时候确实是零点。再比如图像灰度的平坦区域，不管是一阶导还是二阶导都是0，它们显然不是我们要的点：

过零点的确定：

以p为中心的一个3*3领域，p点为过零点意味着至少有两个相对的领域像素的符号不同。有四种要检测的情况：左/右、上/下，和两个对角。如果g(x,y)的值与一个阈值比较（一种通用的方法），那么不仅要求相对领域的符号不同，数值差的绝对值要超过这个阈值，这时p称为一个过零点像素。

 

Laplace算子

Laplace算子是梯度的散度 ：      

图像是离散的二维矩阵，用差分近似微分：

所以，

模板表示为：                                              其他常用的模板还有：

                                                                                             

Laplace算子的旋转不变性证明如下：

两个缺点：

1.没有了边缘的方向信息；          

 2.双倍加强了噪声的影响。

在Matlab中的测试结果：
原图：

原图在不同阈值下的边缘检测效果：

加了椒盐噪声之后：

加了高斯噪声之后：

代码：

lenna = imread('E:\ImageTest\512\g512_006\lena.pgm');

%---------------------------------------------------------------------------
lenna_3=mat2gray(lenna);   %图像矩阵的归一化
[m,n]=size(lenna_3);
lenna_4=lenna_3;       %保留图像的边缘一个像素
L=0;
t=0.2;          %设定阈值
%Laplace算子
for j=2:m-1 
    for k=2:n-1
        L=abs(4*lenna_3(j,k)-lenna_3(j-1,k)-lenna_3(j+1,k)-lenna_3(j,k+1)-lenna_3(j,k-1));
        if(L > t)
            lenna_4(j,k)=255;  %白
        else
            lenna_4(j,k)=0;    %黑
        end
    end
end
figure;
imshow(lenna_4,[]);title('Laplacian 0.2')

可以明显的看出，Laplace算子虽然解决了一阶微分算子确定阈值的困难，但是却不能克服噪声的干扰。

于是LoG算子横空出世。

LOG算子

1980年，Marr和Hildreth提出将Laplace算子与高斯低通滤波相结合，提出了LOG（Laplace and Guassian）算子。

步骤如下：

1.对图像先进性高斯滤波（G × f），再进行Laplace算子运算Δ（G × f）；

2.保留一阶导数峰值的位置，从中寻找Laplace过零点；

3.对过零点的精确位置进行插值估计。

由上图可以看出，高斯滤波之后边缘信息才显现出来。

  微分算子与卷积算子的次序可以交换。

LOG算子如下：

根据sigma的不同以及3sigma原则可以建立不同的模板，sigma是一个尺度参数，在图像处理中引入尺度以及建立多尺度空间是一个重要的突破，sigma越大，图像越模糊滤除噪声效果越好，sigma越小，效果相反。

常用模板如下：

LOG的Matlab效果：

lenna = imread('E:\ImageTest\512\g512_006\lena.pgm');
subplot(121)
imshow(lenna,[]);title('原图')

%-------------------------------------------------------------
%自带函数
lenna=double(lenna);
lenna_1 = edge(lenna,'log'); 
subplot(122)
imshow(lenna_1,[]);title('LoG 0.5')

由数学上的关系，我们可以简化LOG的计算——这便是DOG算子。

DOG算子

二维高斯对sigma求导：

上面我们已经得到：

可以看出：

由导数定义：

所以，

变形一下得到：

右边比LOG算子只是多了一个系数，在实际应用中不影响。

我们定义：

当我们用DOG算子代替LOG算子与图像卷积的时候：

近似的LOG算子值的选取：

当使用这个值时，可以保证LoG和DoG的过零点相同，只是幅度大小不同。

这样，我们只要对图像进行两次高斯平滑再将结果相减就可以近似得到LOG作用于图像的效果了！

DOG的matlab效果：