opengl es 2.0 3.0 MVP矩阵计算

从2.0开始，opengl es不再提供glRotate()等函数，因此MVP矩阵需要我们自己计算，并赋值给GLSL。
1) 先来看下opengl所用的矩阵的基本知识：
Opengl 使用的是列矩阵，即顶点向量等是用列向量的齐次坐标表示的。
另外其矩阵存储方式是“列主序（column-major order）/列优先”
线性代数意义的同一个矩阵，在d3d 和　opengl 中却有不同的存储顺序

线代：a11,a12,a13,a14
           a21,a22,a23,a24
           a31,a32,a33,a34
           a41,a42,a43,a44
     d3d :  a11,a12,a13,a14
           a21,a22,a23,a24
           a31,a32,a33,a34
           a41,a42,a43,a44
     gl: a11,a21,a31,a41
         a12,a22,a32,a42
         a13,a23,a33,a43
         a14,a24,a34,a44

矩阵x顶点（记住顺序！！矩阵左乘顶点，顶点用列向量表示）= 变换后的顶点

这里有粗略的介绍

下面来分析一下：
如上图，3个元素集(m0, m1, m2),(m4, m5, m6)和(m8, m9, m10) 是用作欧拉变换和仿射变换，例如1.0中提供的函数glRotate(),缩放glScalef().

注意这三个元素集实际上指得是3个正交坐标系：
(m0, m1, m2)： +X 轴，向左的向量(left vector)(相对屏幕自己),默认为(1,0,0)
(m4, m5, m6) : +Y轴，向上的向量(up vector),默认为(0,1,0)
(m8, m9, m10): +Z轴，向前的向量，默认为(0,0,1).

因为使用的是左乘，所以变换的顺序是相对于乘法是逆向的，即最后的变换出现在矩阵相乘之前，最先的变换在最后出现。：

TransformedVector = TranslationMatrix * RotationMatrix * ScaleMatrix * OriginalVector;
这行代码最先执行缩放，接着旋转，最后才是平移。
用GLSL表示：

mat4 transform = projectionMat* viewMat * modeMat;
vec4 out_vec = transform * in_vec;

因为model矩阵变换比较简单。所以在这里不再讲解，主要讲解View（又叫相机）矩阵和投影（projection）矩阵的构建

2)View 矩阵（相机矩阵）
先来看下1.0和1.1里面提供的函数
函数原型
void gluLookAt(GLdouble eyex,GLdouble eyey,GLdouble eyez,GLdouble centerx,GLdouble centery,GLdouble centerz,GLdouble upx,GLdouble upy,GLdouble upz);
该函数定义一个视图矩阵，并与当前矩阵相乘。
第一组eyex, eyey,eyez 相机在世界坐标的位置
第二组centerx,centery,centerz 相机镜头对准的物体在世界坐标的位置
第三组upx,upy,upz 相机向上的方向在世界坐标中的方向
你把相机想象成为你自己的脑袋：
第一组数据就是脑袋的位置
第二组数据就是眼睛看的物体的位置
第三组就是头顶朝向的方向（因为你可以歪着头看同一个物体）。

如图，P1为点（centerx，centery,centerz）,P2为点（eyex,eyey,eyez）,u’为给定的向上向量（upx,upy,upz）.
先求出朝向向量（Lookat Vertor）为P2 – P1.用伪代码表示（下同）
Vertor3 lookat = （eyex-centerx,eyey-centery,eyez-centerz）;
朝向坐标（Forward axis）只要将朝向向量转为单位向量（Vectors Normalizing）

Vertex3 forward = lookat.normalize();
左坐标由给定的向上向量与朝向向量的叉乘计算得出。
Vertex3 left = (upx,upy,upz)xforward;
向上坐标由朝向坐标与左坐标的叉乘计算得出：
Vertex3 up = forward x left;
注意left，up计算后都需要进行归一化计算；

我们要把一个世界坐标系点K(Kx, Ky, Kz)，表示成(U,V,N)坐标系的点（假设此时，已经经过平移操作，摄像机在世界坐标系的原点），则其公式为：
Px Ux*kx + Uy* ky + Uz*Kz
py = Vx*kx + Vy* ky + Vz*Kz
px Nx*kx + Ny* ky + Nz*Kz
于是我们构建出矩阵
|leftx lefty leftx|
|upx upy upy |
|forwardx forwardy forwardz|
加上eye的平移：

3，投影矩阵 Projection Matrix

投影变换矩阵用来完成从眼睛坐标系向裁剪坐标系的变换，然后裁剪坐标系再除以系数w，变换到单位换设备坐标系(NDC)

值得注意的是 在裁剪坐标中, xc, ycand zc 与wc比较. 如果改坐标 小于-wc, 或大于wc, 则该顶点将被抛弃.

1）透视矩阵

在透视投影情况下，视景体空间是眼睛坐标系下形成的一个台柱，这个台柱最终映射到单位化的NDC坐标系上，即：x坐标由[l,r]到[-1,1]，y坐标由[b, t]到[-1,1]，x坐标由[n, f]到[-1,1]。

同时我们应该注意一点：视觉坐标系是右手坐标系，但是NDC坐标系是左手坐标系。那么，相机是位于原点，向Z轴负方向观察（在视觉空间中），但是，在NDC空间中变成了Z轴正方向。

在OpenGL中，三维视觉空间中一点(xe,ye,ze)被投影在近平面上(xp, yp, zp)上，如下图。

从截锥体上方看, 视野空间（eye space）里的X轴xe 被映射到 xp,可利用相似三角形比例算出：

 同理

可见xp和yp的计算都依赖于ze，他们都反比-ze。这是构建投影矩阵的第一条线索。在视野坐标通过右乘投影矩阵的变换后（Projection Matrix），裁剪空间仍然是齐次坐标，它最后通过除以自己的-w变成NDC坐标

，

所以我们将w变量设置为-ze。于是GL_PROJECTION矩阵的第四行就是(0,0, -1, 0)。

接着，将裁剪空间中的xp和yp轴线性关系映射到NDC坐标系， [l, r] ⇒ [-1, 1] and [b, t] ⇒ [-1, 1]。可以推导出：

根据两点求直线方程

两点式:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) 求解。举X计算为例：

加（r,1）（l，-1）带入上式

（Xp-r）/（r-l）=(Xn -1)/2

Xn = 2(Xp-r)/(r-l) +1

Xn = (2Xp-r-l)/(r-l)

然后将裁剪空间中的xp和yp使用视觉空间中的xe和ye代替：

由前面我们将w设置为-ze可知道，上面两个方程的分母就是裁剪空间中的坐标xc和yc。于是有下面的透视矩阵：

至此，我们只需要求解第三行了，求解Zn和Ze变换关系和求解x、y略有不同，因为视觉空间中的ze总是会投影到-n的近裁剪平面上。但是，我们需要的z值必须满足唯一性，以便为了裁剪和深度测试，此外还必须满足可逆变换条件。因为很显然，我们知道z的变换，不依赖x和y，所以，我们将GL_PROJECT矩阵假设为如下表示：

在视觉坐标系中We=1，于是：

为了计算A和B，我们使用(ze, zn) 、(-near, -1)和 (-far, 1)的关系， 带入上面方程：

求出AB，于是：ze 和zn的方程变成

于是完整的透视投影矩阵就出来了：

通常我们所设置的视景体空间都是对称的：l =-r, b=-t。所以上面的投影矩阵就简化为下面的对称投影变换矩阵

最后，我们再看看ze和zn的关系式：
，可见他俩并非是线性关系，就是说在近平面处精确度高，在远平面处精度低。所以如果[-n,-f]设置过大就会面临精确度问题。ze在远平面的小变化无法影响Zn的值 ，所以n 和f之间的距离尽量小以减少这种深度缓冲精确度问题（the depth buffer precision problem）.

2）正交矩阵

因为w对应正交投影无意义，所以第四行保持（0,0,0,1）,因此矩阵为

如果r=-l,t=-b，将进一步简化矩阵：

备注：
向量归一化分两步:
1 计算出向量的模，即长度
2 将它的各个分量(xy or xyz)除以它的模
|a| = sqrt((ax * ax) + (ay * ay) + (az * az))
x = ax/|a|
y = ay/|a|
z = az/|a|

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。向量积可以被定义为：
|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。
这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于和：若满足垂直的条件，那么也满足。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。
向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来确定。
a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成
b×a= -a×b右手规则