使用python实现离散时间傅里叶变换

我们经常使用傅里叶变换来计算数字信号的频谱，进而分析数字信号，离散时间傅里叶变换的公式为：
$$X(e^{jw})=\sum _{n=-\infty }^{n=+\infty }x[n]e^{-jwn}$$
可是自己动手实现一遍才是最好的学习。
在数字分析里面，傅里叶变换默认等时间间隔采样，不需要时间序列，只需要信号数组即可分析。
分析过程如下：

1. 对于含有 n 个样本值的数字信号序列，根据奈奎斯特采样定律，包含的周期数最大为 n/2,周期数为 0 代表直流分量。所以，当周期数表示为离散的 0,1,2,3…n/2 ，总的数目为 n/2+1个
2. 傅里叶变换之后的结果为复数， 下标为 k 的复数 a+b*j 表示时域信号中周期为 N/k 个取样值的正弦波和余弦波的成分的多少， 其中 a 表示 cos 波形的成分， b 表示 sin 波形的成分
3. 首先产生一个长度为 n,一倍周期的 $e^{-jwn} $ （即为 $cos(wn)-jsin(wn) $ ）波样本序列.
4. 将数字信号序列中的每一个样本与 1 倍周期的样本波形序列相乘，得到 n 个乘积，将 n 个乘积相加，放入 f[1] 中。
5. 再产生一个长度为 n,两倍周期的 $e^{-jwn} $ （即为 $cos(wn)-jsin(wn) $ ）波样本序列,再将数字信号序列中的每一个样本与 2 倍周期的样本波形序列相乘，得到 n 个乘积，将 n 个乘积相加，放入 f[2] 中。依次重复。
6. 对于 0 倍周期，即直流分量来说，可以认为产生的是 0 倍周期的样本波形，重复操作，放入 f[0] 即可。
7. 这样就得到了数字信号序列的傅里叶变换

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使用方法：
从以上过程得到数字序列的傅里叶变换之后，如果想要得到真正频谱，还需要做处理：

1. 计算出的每一个频率下的幅值需要除以时间序列的长度，类似求平均的过程
2. 每一个频率下的幅值是一个复数，需要对它求模，而且因为在负频率处也有值，所以需要对于实信号需要乘 2
3. 频率的序列为 0 到采样率的一半，长度为 n/2+1
   完整程序：

# 离散时间傅里叶变换的 python 实现
import numpy as np
import math
import pylab as pl
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt

sampling_rate=1000
t1=np.arange(0, 10.0, 1.0/sampling_rate)
x1 =np.sin(15*np.pi*t1)

# 傅里叶变换
def fft1(xx):
#     t=np.arange(0, s)
    t=np.linspace(0, 1.0, len(xx))
    f = np.arange(len(xx)/2+1, dtype=complex)
    for index in range(len(f)):
        f[index]=complex(np.sum(np.cos(2*np.pi*index*t)*xx), -np.sum(np.sin(2*np.pi*index*t)*xx))
    return f

# len(x1)

xf=fft1(x1)/len(x1)
freqs = np.linspace(0, sampling_rate/2, len(x1)/2+1)
plt.figure(figsize=(16,4))
plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')

plt.xlabel("Frequency(Hz)")
plt.ylabel("Amplitude($m$)")
plt.title("Amplitude-Frequency curve")

plt.show()

plt.figure(figsize=(16,4))
plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')

plt.xlabel("Frequency(Hz)")
plt.ylabel("Amplitude($m$)")
plt.title("Amplitude-Frequency curve")
plt.xlim(0,20)
plt.show()

此处实现的是传统的傅里叶变换，这种方法实际已经不用了，现在使用快速傅里叶变换，其实两种是等价的，但是快速傅里叶变换时间复杂度要小很多。