vSlAM中相机成像的原理与四个坐标系关系整理

0 前言

先开一坑，总结下相机成像的原理以及相机的四个坐标系的关系，其实这四个坐标系也正好描述了相机成像的过程。想到什么就会写些什么，也帮助自己做下总结，所以会逐渐填补，见谅。

（该文章参考了高博的《视觉SLAM十四讲》，并对相应的知识点给出了自己的看法。）

1 相机成像原理

图1：小孔成像原理

相机可以将三维世界的坐标点映射到二维的图像平面，这一过程可以使用不同的模型进行描述，最简单的模型即为针孔模型。
在针孔模型下，设O-x-y-z为相机坐标系。O为相机的光心，即针孔模型的小孔，及相机的光圈中心。现实世界的蜡烛位于点P，经过小孔成像后落在了成像平面O'-x'-y'-z'上，成像为P'。（注意：该平面的成像为倒像）

图2：基本针孔模型—对称成像平面

设物距为Z，相距为f（即焦距）。则根据相似三角形关系有：
$$\frac{Z}{f}=-\frac{X}{X'}=-\frac{Y}{Y'}$$
其中的负号代表成像是倒立的，为了简化，可以将成像平面对称到相机的前方，使成像正立。上式变为：
$$\frac{Z}{f}=\frac{X}{X'}=\frac{Y}{Y'}$$
关系即如上图2所示，成像平面被移到了物体和相机光心的范围内。物体与光心的连线与成像平面的交点即为成像位置。
有在成像平面上的坐标X'与Y'：

$$X'=f\frac{X}{Z}$$
$$Y'=f\frac{Y}{Z}$$

在相机里我们获得的是图像像素，为了描述将成像转换为像素的过程，我门设在物理成像平面上固定一个像素平面o-u-v。在像素平面上的 P‘的坐标为[u,v]t.

像素坐标的o'位于图像的左上角。像素坐标和成像平面之间相差了一个缩放和平移。

2四个坐标系的关系

1. 物体在世界坐标系下的世界坐标为$$P_w$$
2. 为了将世界坐标系的坐标转换到相机坐标系，需要进行坐标变换。因为相机坐标系是用R与t或者用T来进行描述的，所以这个转换过程为
$$P_c=RP_w+t$$
3.2中得到的相机坐标还是三维的，为了投影到归一化平面上，得到归一化坐标，需要进行如下变换：
$$P_c=[\frac{X}{Z},\frac{Y}{Z},1]^T$$
4.最后，3中的坐标经过内参的调整后会得到对应的像素坐标
$$P_uv=KP_c$$
1-4描述了物体的坐标从世界坐标-相机坐标-归一化相机坐标-像素坐标的转换过程。这个转换过程也表示了相机成像的整个过程。