机器学习、深度学习需要哪些数学知识？✅

如果不是有太多自由时间，不要过度投入到数学上，或者说不要系统大量地学习，可以遇到不懂的再去学习相关数学知识。

（本文部分摘自图灵的猫公众号 ）

微积分

微积分是现代数学的基础，线性代数，矩阵论，概率论，信息论，最优化方法等数学课程都需要用到微积分的知识。单就机器学习和深度学习来说，更多用到的是微分。积分基本上只在概率论中被使用，概率密度函数，分布函数等概念和计算都要借助于积分来定义或计算。 几乎所有学习算法在训练或者预测时都是求解最优化问题，因此需要依赖于微积分来求解函数的极值，而模型中某些函数的选取，也有数学性质上的考量。对于机器学习而言，微积分的主要作用是： 1.求解函数的极值 2.分析函数的性质 下面列出机器学习和深度学习中所需的微积分知识点，显然，不是课本里所讲的所有内容都是需要的，我们只列出所必须的。

• 极限：极限是高等数学和初等数学的分水岭，也是微积分这座大厦的基石，是导数、微分、积分等概念的基础。虽然在机器学习里不直接用到极限的知识，但要理解导数和积分，它是必须的。
• 上确界与下确界：这一对概念对工科的微积分来说是陌生的，但在机器学习中会经常用到，不要看到论文或书里的sup和inf不知道什么意思。
• 导数：其重要性众所周知，求函数的极值需要它，分析函数的性质需要它。典型的如梯度下降法的推导，logistic函数导数的计算。熟练地计算函数的导数是基本功。
• Lipschitz连续性：这一概念在工科教材中同样没有提及，但对分析算法的性质却很有用，在GAN，深度学习算法的稳定性、泛化性能分析中都有用武之地。
• 导数与函数的单调性：某些算法的推导，如神经网络的激活函数，AdaBoost算法，都需要研究函数的单调性。
• 导数与函数的极值：这个在机器学习中处于中心地位，大部分优化问题都是连续优化问题，因此可以通过求导数为0的点而求函数的极值，以实现最小化损失函数，最大化似然函数等目标。
• 导数与函数的凹凸性：在凸化，Jensen不等式的证明中都有它的应用。
• 泰勒公式：又一个核心知识点。在优化算法中广泛使用，从梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法，到AdaBoost算法，梯度提升算法，XGBoost的推导都离不开它。
• 不定积分：积分在机器学习中使用的相对较少，主要用于概率的计算中，它是定积分的基础。
• 定积分：包括广义积分，被用于概率论的计算中。机器学习中很大一类算法是概率型算法，如贝叶斯分类器，概率图模型，变分推断等。这些地方都涉及到对概率密度函数进行积分。
• 变上限积分。分布函数是典型的变上线积分函数，同样主要用于概率计算中。
• 牛顿-莱布尼兹公式。在机器学习中很少直接使用，但它是微积分中最重要的公式之一，为定积分的计算提供了依据。
• 常微分方程。在某些论文中会使用，但一般算法用不到。
• 偏导数。重要性不用多说，机器学习里绝大部分函数都是多元函数，要求其极值，偏导数是绕不开的。
• 梯度。决定了多元函数的单调性和极值，梯度下降法的推导离不开它。几乎所有连续优化算法都需要计算函数的梯度值，且以寻找梯度为0的点作为目标。
• 高阶偏导数。确定函数的极值离不开它，光有梯度值还无法确定函数的极值。
• 链式法则。同样使用广泛，各种神经网络的反向传播算法都依赖于链式法则。
• Hessian矩阵。决定了函数的极值和凹凸性，对使用工科教材的同学可能是陌生的。
• 多元函数的极值判别法则。虽然不直接使用，但对理解最优化方法至关重要。
• 多元函数的凹凸性判别法则。证明一个问题是凸优化问题是离不开它的。
• Jacobian矩阵。工科教材一般没有介绍这一概念，但和Hessian矩阵一样，并不难理解，使用它可以简化多元复合函数的求导公式，在反向传播算法中广泛使用。
• 向量与矩阵求导。常见的一次函数，二次函数的梯度，Hessian矩阵的计算公式要烂熟于心，推导并不复杂。
• 泰勒公式。理解梯度下降法，牛顿法的优化算法的基石。
• 多重积分。主要用于概率论中，计算随机向量的积分，如正态分布。

线性代数与矩阵论

相对于微积分，线性代数似乎用的更多，而且有一部分属于矩阵论/矩阵分析的范畴，超出了工科线性代数教材的范围。下面列出线性代数和矩阵论的常用知识点。

• 向量及其运算：机器学习算法的输入很多时候是向量，如样本的特征向量。因此熟练掌握向量以及常用的运算是理解机器学习的基础。
• 矩阵及其运算：与向量一样，是线性代数的核心概念，各种运算，常用矩阵，必须烂熟于心。
• 行列式：直接使用的少，在概率论，某些模型的推导中偶尔使用。
• 线性方程组：直接使用的少，但这是线性代数的核心内容。
• 特征值与特征向量：在机器学习中被广泛使用，很多问题最后归结于求解矩阵的特征值和特征向量。如流形学习，谱聚类，线性判别分析，主成分分析等。
• 广义特征值：工科线性代数教材一般不提及此概念，但在流形学习，谱聚类等算法中经常用到它。
• Rayleigh商：工科教材一般不提及它。在某些算法的推导过程中会用到，如线性判别分析。
• 矩阵的谱范数与条件数：工科教材一般不提及它。在某些算法的分析中会用到它，它刻画了矩阵的重要性质。
• 二次型：很多目标函数是二次函数，因此二次型的地位不言而喻。
• Cholesky分解：某些算法的推导中会用到它，工科教材一般不提及它。
• 特征值分解：对机器学习非常重要，很多问题最后归结于特征值分解，如主成分分析，线性判别分析等。
• 奇异值分解：在机器学习中广泛使用，从正态贝叶斯分类器，到主题模型等，都有它的影子。
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概率论与信息论

 

概率论与信息论在机器学习中用得非常多。概率论的知识，一般不超出工科教材的范畴。而信息论是很多同学没有学过的，不过只要你理解了微积分和概率论，理解这些概念并不是难事。下面列出常用的概率论与信息论知识点。

• 随机事件与概率：这是理解随机变量的基础，也是概率论中最基本的知识。
• 条件概率与独立性：条件概率非常重要，在机器学习中，只要有概率模型的地方，通常离不开它。独立性在很多地方也被使用，如概率论图模型。
• 条件独立：在概率论图模型中广泛使用，一定要理解它。
• 全概率公式：基础公式，地位不用多说。
• 贝叶斯公式：在机器学习的概率型算法中处于灵魂地位，几乎所有生成模型都要用到它。
• 离散型随机变量与连续型随机变量：重要性不用多说，概率质量函数，概率密度函数，分布函数，一定要熟练掌握。
• 数学期望：非常重要，好多地方都有它的影子。
• 方差与标准差：非常重要，刻画概率分布的重要指标。
• Jensen不等式：在很多推导和证明中都要用它，如EM算法，变分推断。
• 常用概率分布：包括均匀分布，正态分布，伯努利分布，二项分布，多项分布，t分布等，在各种机器学习算法中广泛使用。
• 随机向量：多元的随机变量，在实际中更有用。
• 协方差：经常使用的一个概念，如主成分分析，多元正态分布中。
• 参数估计：包括最大似然估计，最大后验概率估计，贝叶斯估计，核密度估计，一定要弄清楚它们是怎么回事。
• 随机算法：包括采样算法，遗传算法，蒙特卡洛算法，在机器学习中也经常使用。
• 信息论中的一些概念，包括熵，交叉熵，KL散度，JS散度，互信息，信息增益，一定要深刻理解这些概念。如果你不理解KL散度，那怎么理解变分推断和VAE？

 

最优化方法

前面已经说过，最优化方法是机器学习的灵魂，用于确定模型的参数或预测结果。不幸的是，工科专业一般没有学过这门课。不过只要你理解了微积分和线性代数，并不难推导出这些算法。下面列出常用的最优化方法知识点：

• 梯度下降法：最简单的优化算法，但却很有用，尤其在深度学习中。
• 随机梯度下降法：在深度学习中的重要性妇孺皆知。
• 最速下降法：梯度下降法的改进型，是理解梯度提升等算法的基础。
• 梯度下降法的改进型：如AdaGrad，AdaDelta，Adam等，使用深度学习开源库的时候经常会看到这些名字。
• 牛顿法：二阶优化算法的典型代表，只是在深度学习中用的少。在logistic回归等算法的训练中会用到它。
• 拟牛顿法：牛顿法的改进，在条件随机场等模型的训练中会用到L-BFGS等算法。
• 坐标下降法：在logistic回归等模型的训练中会用到它，不难理解。
• 凸优化：最优化中的核心概念之一，如果一个问题被证明为凸优化问题，恭喜你，它基本上可以较好的解决。
• 拉格朗日乘数法：在各种算分的推导中经常使用，如主成分分析，线性判别分析等，如果不熟练掌握它，你将非常艰难。
• KKT条件：拉格朗日乘数法扩展到带不等式约束后的版本，在SVM的推导中将会使用。
• 拉格朗日对偶：不太好理解的知识点，在SVM的推导中经常用到，不过套公式并不难。
• 多目标优化：一般很少使用，在多目标NAS中会使用它，如帕累托最优等概念。
• 变分法：用于求解泛函的极值，在某些理论推导中会用到它，如通过变分法可以证明在均值和方差一定的情况下，正态分布的熵最大。
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图论

机器学习中的某些问题可以用图论的方法解决，如流形学习，谱聚类。某些算法的表达也可能用到图论的知识，如深度学习中的计算图，NAS中的网络拓扑结构图。概率图模型让很多初学者谈虎色变，它是图论与概率论的完美结合。下面介绍常用的图论知识点。 图的基本概念：如顶点，边，有向图，无向图等。

邻接矩阵与加权度矩阵：图论中的核心概念，边一般都带有权重的。

某些特殊的图：如二部图，有向无环图等，在深度学习中经常会用到他们。

最短路径问题：经典的Dijkstra算法是每个程序员必须掌握的。

拉普拉斯矩阵和归一化拉普拉斯矩阵：比较难理解的概念，机器学习中的很多算法，如流形学习，使用图论的半监督学习，谱聚类都离不开它。理解这个矩阵和它的性质，是理解这些算法的基础。