矩阵 矩阵的基本运算规则 行列式 逆矩阵

矩阵

本质：矩阵是个数表；从线性变换的视角看，矩阵是记录线性变换这一过程的描述信息。记为 $A_{m\times n}$ 或 $A=\{a_{ij}\}$ 或 $A=\{a_{ij}{\}}_{m\times n}$

特殊矩阵及其性质

同型矩阵

具有相同行数和列数的矩阵，称为同型矩阵。

方矩阵

如果 $m$ 等于 $n$ ,称为 $n$ 阶（方）矩阵，记为 $A_n$。

零矩阵

所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为 $O$ 或 $O_{m\times n}$。

三角矩阵

设$A=\{a_{ij}{\}}_n$是 n 阶方阵，若：

1. $A$ 的元素满足 $a_{ij}=0$, $\forall i>j$ ,称 $A$ 为上三角矩阵。

2. $A$ 的元素满足 $a_{ij}=0$, $\forall i<j$ ,称 $A$ 为下三角矩阵。

对角矩阵

元素满足$a_{ij}=0,\forall i̸=j$ ，记为 $A=diag\{a_{11},a_{22},...,a_{nn}\}=diag\{a_{ii}\}$ 。

单位矩阵

对角元素为1的三角矩阵，记为$I$ 或 $I_n$ 。

对称矩阵

设$A=\{a_{ij}{\}}_n$是 n 阶方阵，若：

1. $A$ 的元素满足 $a_{ij}=a_{ji}\forall i,j⟺A^T=A$
2. $A$ 的元素满足 $a_{ij}=-a_{ji}\forall i,j⟺A^T=-A$

矩阵的基本运算及其规则

$A(B+C)=AB+AC$

$(B+C)A=BA+CA$

$(AB)C=A(BC)$

$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ ,其中 $\lambda$ 是一个数。

$AI=IA=A$

$A^{k+l}=A^k{A}^l$

$(A^k{)}^l=A^{kl}$

$A^0=I$ （特别规定）

$(A^T{)}^T=A$

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$,其中$\lambda 是一个数$ 。

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

$tr(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}=|A|=det(A)$

$tr(AB)=tr(BA)$

$|A^T|=|A|$

$|\lambda A|={\lambda }^n|A|$

$|AB|=|A||B|$

伴随矩阵

设$A=\{a_{ij}\}$ 行列式$|A|$ 的各个元素的代数余子式$A_{ij}$ 所构成的如下矩阵

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ...& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ...& A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& ...& A_{nn}\end{array}\right)$

称为矩阵$A$ 的伴随矩阵，简称伴随阵。

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$

逆矩阵

设$A$是$n$阶矩阵，若存在矩阵$B$,使得$AB=BA=I$ ,则称矩阵$A$ 是可逆的（矩阵$B$ 是矩阵$A$ 的逆矩阵）。

1. 逆矩阵是唯一的，用$A^{-1}$ 表示。
   证明：设$B$ ,$C$ 均是$A$ 的逆矩阵，则有 $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$ 。
2. 矩阵$A$ 是可逆的的充要条件是$|A|\neq 0 $ 且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

https://github.com/wuchg/MLiA/blob/master/matrix.md