线性代数(四) ：矩阵乘法的性质与分块矩阵的运算

了解完矩阵与线性映射的关系后。现在可以讨论下矩阵乘法的运算性质了,这对以后推导其他结果是有帮助的：

1 对于矩阵乘法.交换律不成立

(i)对于行数和列数不相等的矩阵。很明显由于交换之后不能满足矩阵乘法的要求，所以交换之后是没有意义的，所以交换律不成立。

(ii)对于方阵下边以2x2的方阵来检验。

2 对于矩阵乘法.结合率成立，下面以以一个例子来验证矩阵来验证：

3 分块矩阵

(1) 分块矩阵简介：

一个分块矩阵(分段矩阵)就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块(称为子块)看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以简化运算。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分:

(2)分块矩阵的运算法则：

(i)对于加法,数乘,矩阵乘法就是对每个子块执行对应的操作

(ii)对于加法要注意分块的时候要确保对应子块的行列数要相同也就是要用相同的方法分块.

设矩阵A和B的行列数相同，并采用相同的分块法分成：

若A和B的对应字块有相同行列号则：

(iii)对于矩阵乘法要注意对应子块要确保相乘是有意义的（第一个子块的列数等于第二个的行数）

设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 ,分块成：

若A的子块的列数等于B对应子块的行数则：

与分块矩阵相关的其他问题会在以后介绍。