金融时间序列-非线性检验-Ljung-Box test

1 Ljung-Box test

Ljung-Box test是对randomness的检验,或者说是对时间序列是否存在滞后相关的一种统计检验。

• 纯随机性检验，p值小于5%,序列为非白噪声
• 用于检验某个时间段内的一系列观测值是不是随机的独立观测值。如果观测值并非彼此独立，一个观测值可能会在 i 个时间单位后与另一个观测值相关，形成一种称为自相关的关系。自相关可以削减基于时间的预测模型（例如时间序列图）的准确性，并导致数据的错误解释。

LBQ检验的原假设和备择假设分别为 ：
H0: 原本的数据都是独立的，即总体的相关系数为0，能观察到的某些相关仅仅产生于随机抽样的误差。即 ρ̂1=ρ̂2=⋯=ρ̂m=0 ρ ^ 1 = ρ ^ 2 = ⋯ = ρ ^ m = 0 ，其中m是人为给定的，有时我们在软件中仅仅给定一个上界，而不是具体的m。
H1: 原本的数据不是独立的，即至少存在某个 ρ̂k≠0 ρ ^ k ≠ 0 ，其中 k⩽m k ⩽ m 。
构造的统计量是

Q(m)=T(T+2)∑i=1mρ̂iT−i Q ( m ) = T ( T + 2 ) ∑ i = 1 m ρ ^ i T − i

其中T是样本容量，m是人为选定的一个数， ρi^ ρ i ^ 是i阶滞后的自相关系数。
在原假设成立的条件下，Q(m)服从自由度为m的卡方分布。给定显著性水平 α α ，则拒绝域是 Q>χ21−α,m Q > χ 1 − α , m 2 。接受原假设意味着认为原序列是白噪声序列，否则认为序列存在相关性。

2 平方残差的Q统计量（Ljung-Box Q 统计量）

LBQ 还用于在拟合时间序列模型（例如 ARIMA）后评估假设以确保残差彼此独立。
对ARMA(p,q)模型的平方残差应用Ljung-Box统计量检查模型的不足，这个统计量是

Q(m)=T(T+2)∑i=1mρ̂i(a2t)T−i Q ( m ) = T ( T + 2 ) ∑ i = 1 m ρ ^ i ( a t 2 ) T − i

其中T是样本容量，m是人为选定的一个数， at a t 是残差，而 ρ̂i(a2t) ρ ^ i ( a t 2 ) 是 a2t a t 2 的i阶自相关函数（ACF）。
这个统计量的原假设和备择假设为：
H0： β1=β2=⋯=βm=0 β 1 = β 2 = ⋯ = β m = 0 ，其中 βi β i 是下面的线性回归的 a2t−i a t − i 2 的系数：

a2t=β0+β1a2t−1+⋯+βma2t−m+et a t 2 = β 0 + β 1 a t − 1 2 + ⋯ + β m a t − m 2 + e t

其中 t=m+1,⋯,T t = m + 1 , ⋯ , T . 因为这个统计量由残差计算得到（而不是直接观察得到），所以自由度是m-p-q.
H1：至少存在某个 βk≠0 β k ≠ 0 ，其中 k⩽m k ⩽ m .

3 R语言实现

LB检验无论是R,MATLAB,SAS都很好实现。下面是R的一个例子：

x <- rnorm (100)
Box.test (x, lag = 5)
Box.test (x, lag = 10, type = "Ljung")

参考：
https://www.zhihu.com/question/22863169
https://blog.csdn.net/zyy160alex5/article/details/9931369
https://blog.csdn.net/sadfasdgaaaasdfa/article/details/45538417
《金融时间序列分析》 Ruey S. Tray