【学习】线段树和并

（摘自 黄嘉泰 的课件）
##合并：
由线段树的定义我们不难写出下面的过程，来合并两棵代表范围相同的线段树

merge(a,b):
	如果a,b中有一个不含任何元素，就返回另一个
	如果a,b都是叶子，返回merge_leaf(a,b)
	返回merge(a->l,b->l)与merge(a->r,b->r)连接成的树

由于a,b两棵树结构相同，上面的过程的正确性是显然的。
a,b中可能存在key相同的元素，我们之前对线段树的定义对这种情况无能为力，所以需要一个merge_leaf过程来给出新树中该位置的元素
为了方便确定一棵树是否为空，动态开辟节点。若某棵子树为空，则其父亲的对应指针为空。
##复杂度：
若merge_leaf过程和+运算的代价都是O(1)
容易看出合并的开销正比于两棵树公共的节点数
单次merge操作的开销可大可小，但我们可以立即得到一个非常有用的结论：
若有n棵含有单个元素的树，经过n-1次merge操作，将他们合并成一棵的代价是O(nlogn)或O(nlogU)
理由：这个过程的开销不会比向一棵空树顺序插入n个整数来的大。
##例题：
###题意：
输入一棵树和一些询问，每个询问x a b，意为询问以x为根的子树中值为a到b数字的个数。
###思路：
考虑读入所有的询问离线的处理，从深度深的开始处理，用权值线段树来维护a到b的数字个数，提前把数据离散化，每次用完直接跟子树合并并插入根节点的权值。
合并的代码：

void merge(node *a, node *b){
	a->val += b->val;
	if(a->ch[0] != null && b->ch[0] != null) merge(a->ch[0], b->ch[0]);
	else if(a->ch[0] != null) a->ch[0] = b->ch[0];
	if(a->ch[1] != null && b->ch[1] != null) merge(a->ch[1], b->ch[1]);
	else if(a->ch[1] != null) a->ch[1] = b->ch[1];
}

在合并的之前一定要注意传进函数内的指针是否已经分配了内存。

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##练习：
###题目来源：BZOJ 2212
###题目描述：
现在有一棵二叉树，所有非叶子节点都有两个孩子。在每个叶子节点上有一个权值(有n个叶子节点，满足这些权值为1…n的一个排列)。可以任意交换每个非叶子节点的左右孩子。

要求进行一系列交换，使得最终所有叶子节点的权值按照遍历序写出来，逆序对个数最少。
###Input
第一行n
下面每行，一个数x
如果x==0，表示这个节点非叶子节点，递归地向下读入其左孩子和右孩子的信息，
如果x!=0，表示这个节点是叶子节点，权值为x
1<=n<=200000
###Output
一行，最少逆序对个数
###Sample Input
3
0
0
3
1
2
###Sample Output
1
###思路：
不难发现逆序对的增加只可能发生在不能旋转的两个根之间，所以只需要用权值线段树来维护逆序对数，不断的向上合并就可以了，每次转成逆序对数较小的一种组合，然后合并，之后的逆序对数与此没有影响。
注意：要开long long。
###代码：

#include 
#include 
#define mid ((l+r)>>1)
const int maxn = 200010;
typedef long long ll;
struct node{
	ll val;
	node *ch[2];
}Pool[maxn*20], *root, *null;
int cnt, n;
ll ans;
node *get(){
	node *now = &Pool[++ cnt];
	now->val = 0;
	now->ch[0] = now->ch[1] = null;
	return now;
}
void merge(node *a, node *b){
	a->val += b->val;
	if(a->ch[0] != null && b->ch[0] != null) merge(a->ch[0], b->ch[0]);
	else if(b->ch[0] != null) a->ch[0] = b->ch[0];
	if(a->ch[1] != null && b->ch[1] != null) merge(a->ch[1], b->ch[1]);
	else if(b->ch[1] != null) a->ch[1] = b->ch[1];
	return;
}
void build(node *now, int l, int r, int val){
	if(l == r) return;
	int wh = 1;
	if(val <= mid) wh = 0;
	now->ch[wh] = get();
	now->ch[wh]->val += 1;
	build(now->ch[wh], wh == 0 ? l : mid+1, wh == 0 ? mid : r, val); 
}
ll calc(node *a,node *b){
	ll res = 0;
	if(a->ch[0] != null && b->ch[1] != null) res += a->ch[0]->val * b->ch[1]->val;
	if(a->ch[1] != null && b->ch[1] != null) res += calc(a->ch[1], b->ch[1]);
	if(a->ch[0] != null && b->ch[0] != null) res += calc(a->ch[0], b->ch[0]);
	return res;
}
node *dfs(){
	int x;
	node *now, *lch, *rch;
	scanf("%d", &x);
	if(x == 0){
		lch = dfs();
		rch = dfs();
		ans += std::min(calc(lch, rch), calc(rch, lch));
		merge(lch, rch);
		return lch;
	}else{
		// 给now一个初始值。 
		build(now = get(), 1, n, x);
		return now;
	} 
}
int main(){
	null = &Pool[0];
	null->val = 0;
	null->ch[0] = null->ch[1] = null; 
	scanf("%d", &n);
	root = dfs();
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}