动态规划算法——矩阵连乘问题

动态规划算法——矩阵连乘问题

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问题描述：给定n个矩阵{A1A2…An}，其中Ai和Ai+1是可乘的，考察这n个矩阵的连乘积A1A2…An。由于矩阵的乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积有许多不同的计算次序，而不同的计算次序，所需要计算的连乘次数也是不同的，求解连乘次数最少的矩阵连乘最优次序。

举例说明矩阵结合方式对数乘次数的影响：

     矩阵连乘积A1A2A3，3个矩阵的维数分别为10*100,100*5和5*50，连乘时加括号的方式有：

          （（A1*A2）*A3）     数乘次数：10*100*5+10*5*50=7500

          （A1*（A2*A3））     数乘次数：100*5*50+10*100*50=75000

由此可见，不同的加括号方式计算次数差距竟然如此之大！所以要想快速解决问题就需要找到最优次序。

 

方法一：穷举搜索法

     列举出矩阵连乘所有的加括号方式，然后计算出每种加括号方式的计算次数，找到计算次数最少的加括号方式，然后进行矩阵连乘。

方法二：动态规划法

　　　　按照动态规划法处理问题的步骤：

1.分析最优解的结构：

     记A[1:n] = A1A2…An。计算A[i:j]的最优次序时，可以将矩阵链断开分为两部分A[i:k]和A[k+1:j]，其中i <= k < j(由于第二个子链以k+1开始，所以k不能等于j)，即A[i:j] = A[i:k]*A[k+1:j],这时候：

 

     A[i:j]的数乘次数 = A[i:k]的数乘次数 + A[k+1:j]的数乘次数 + p[i-1]p[k]p[j];

     注意：Ai矩阵的维数为pi-1和pi。

           p[i-1]p[k]p[j]为两个矩阵M1*M2的数乘次数。（M1=A[i:k]，M2=A[k+1:j]）

 

显然此时A[i:k]和A[k+1:j]也是最优次序。

     如果A[i:k]不是最优次序，那么存在最优次序A1[i:k],那么此时A[i:j]的数乘次数将少于A[i:j]最有次序的计算量，这是矛盾的，所以A[i:k]子链是最优次序，同理A[k+1:j]也是最优次序。

     因此，矩阵连乘问题的最优次序包含着其子问题的最优次序，这种性质就是最优子结构性质。

 

2.建立最优值的递归关系

     对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]所需的最少数乘次数为m[i][j],则原问题的最优值为m[1][n].

     当i=j时，A[i:j]为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i] = 0, i = 1,2,3…n

     当i

          m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]p[k]p[j];

     所以，最优值可以递归的定义为：

               

                     

          

 

3.计算最优值

     下面给出计算最优值的动态规划算法，其中连乘矩阵的维数存放在数组p中，p={p1，p2，p3，……}，最优值存放在数组m中，最优次序的断开位置存放在数组s中：

 

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迭代的执行过程，R控制子问题的规模，直至达原问题         

     当R=2时，迭代计算出：

     m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；

     m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];

     m[3:4]=m[3:3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];

     m[4:5]=m[4:4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];

     m[5:6]=m[5][5]+m[6][6]+p[4]*p[5]*p[6]；

     当R=3时，迭代计算出：

     m[1:3]=min(m[1:1]+m[2:3]+p[0]*p[1]*p[3],m[1:2]+m[3:3]+p[0]*p[2]*p[3]);

     m[2:4]=min(m[2:2]+m[3:4]+p[1]*p[2]*p[4],m[2:3]+m[4:4]+p[1]*p[3]*p[4]);

     ......

     m[4:6]=min(m[4:4]+m[5:6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:5]+m[6:6]+p[3]*p[5]*p[6]);

     ......

 

4.由最优值构造最优解

上述算法只是计算出了最优值，并未给出最优解，也就是说现在只是知道了最小数乘次数，并不知道矩阵连乘的乘法次序。

MatrixChain算法中的t=s[i][j]表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应该在矩阵At和At+1之间断开，即A[i:j]=A[i:t]*A[t+1:j]。所以，s[1][n]记录的信息可知A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])*(A[s[1][n]+1:j]),而A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为（A[1:s[1][s[1][n]]]）*（A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][n]]），以此类推。

 

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动态规划算法完整代码见文章末尾。

 

方法三：备忘录方法

备忘录方法是动态规划算法的变形，与动态规划算法一样，备忘录算法用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此问题时只是简单地查看该问题的答案，而不必重新计算。与动态规划算法不同的是，备忘录算法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法是自底向上的。

备忘录方法为每个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解，对每个待求的子问题，首先查看其记录项。若记录项是原始值，则代表该问题是第一次遇到，计算该问题的值并保存；若记录项中存储的不是初始化时的特殊值，则表示子问题已经被计算过，此时只要从记录项中取出该子问题的解答即可，不必重新计算。

 

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备忘录算法完整代码见文章末尾。 

 

 

通过对求解最优值的两种算法分析可以看出，备忘录方法通过递归自顶向下由原问题慢慢分解为子问题，然后求解下层的子问题，最后返回到顶层原问题，在这个过程中只去计算与原问题有关的子问题，即递归调用的子问题；而动态规划算法自底向上，先去将所有的子问题解决，然后一步步扩大子问题的规模，直至到原问题，然后去掉用解决原问题是需要用到的子问题答案。

 

附一：

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附二：

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