[BZOJ2324][ZJOI2011]营救皮卡丘-最小费用最大流
营救皮卡丘
Description
皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。
火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。
由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。
为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。
K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。
野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。
请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！
Input
第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。
接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。
Output
仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。
Sample Input
3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1
Sample Output
3
【样例说明】
小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。
HINT
对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。
Source
Day2
咱可能是对网络流有什么误解
居然想直接通过建模用网络流同时跑最短路和最小路径覆盖……
思路:
看起来有点路径覆盖的意思。
那么怕不是钦定了网络流。
直接建模显然是不科学的，毕竟最短路也需要建模。
那么考虑转化，设 g[i][j] g [ i ] [ j ] 代表仅经过编号小于等于 max(i,j) max ( i , j ) 的节点的前提下， i i 到 j j 的最短路。
编号的限制是因为，如果编号同时大于 i,j i , j 的点可以进入最短路的方案中，那么既然此时都已经解锁了更大的点，还走这一段路干什么……
于是就可以转变成正统的路径覆盖了。
由于每个节点必须经过一次，所以和传统路径覆盖不同，每个点需要至少 1 1 的流量下界流过。
同时，由于需要最小费用，所以是最小费用最大流。
于是建模如下:
拆点，对每个点 i i 拆成 i i 和 i′ i ′ 。
S S 向 0 0 连流量为 k k ，费用为 0 0 的点，向其余 1−n 1 − n 号点连流量为 1 1 ，费用为 0 0 的边，(即每个点的下界)
T T 向每个点 i′ i ′ 连流量为 1 1 ，费用为 0 0 的点。
i i 向每个 j≥i j ≥ i 的 j′ j ′ 连流量为 1 1 ，费用为 g[i][j] g [ i ] [ j ] 的点。
这里 j≥i j ≥ i 的原因与上面的编号问题相同，即不走回头路……
然后直接上最小费用最大流即可~
话说咱通过魔改dinic脑补出来的费用流写法居然就是zkw费用流……
#includewhile('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
return x;
}
inline bool chkmin(int &a,int b){if(a>b)return a=b,1;return 0;}
const int N=159;
const int Inf=1e9+7;
int n,m,k;
int g[N][N];
namespace flow
{
const int M=1e6+9;
const int P=1e4+9;
int to[M<<1],nxt[M<<1],w[M<<1],cost[M<<1],beg[P],tot=1;
int dis[P],q[P],ret,mul;
bool inq[P];
inline void adde(int u,int v,int c,int d)
{
to[++tot]=v;
nxt[tot]=beg[u];
beg[u]=tot;
w[tot]=c;
cost[tot]=d;
}
inline void add(int u,int v,int c,int d)
{
adde(u,v,c,d);adde(v,u,0,-d);
}
inline bool spfa(int s,int t)
{
for(int i=0;i0;q[0]=t;
for(int l=0,r=1,u=t;l!=r;u=q[l=(l+1)%(P-3)],inq[u]=0)
for(int i=beg[u];i;i=nxt[i])
if(w[i^1]>0 && chkmin(dis[to[i]],dis[u]+cost[i^1]) && !inq[to[i]])
q[r]=to[i],r=(r+1)%(P-3),inq[to[i]]=1;
return (mul=dis[s])!=Inf;
}
inline int dfs(int u,int flow,int t)
{
if(u==t || !flow)return ret+=flow*mul,flow;
int costs=0,cdis=dis[u];dis[u]=Inf;
for(int i=beg[u],f;i;i=nxt[i])
if(w[i]>0 && dis[to[i]]!=Inf && dis[to[i]]+cost[i]==cdis)
{
f=dfs(to[i],min(w[i],flow-costs),t);
w[i]-=f;w[i^1]+=f;costs+=f;
if(costs==flow)break;
}
return costs;
}
inline int mcmf(int s,int t)
{
ret=0;
while(spfa(s,t))
while(dfs(s,Inf,t));
return ret;
}
}
int main()
{
n=read();m=read();k=read();
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
if(i!=j)
g[i][j]=Inf;
for(int i=1,a,b,l;i<=m;i++)
{
a=read();b=read();l=read();
if(chkmin(g[a][b],l))
g[b][a]=g[a][b];
}
for(int k=0;k<=n;k++)
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
if(i>=k || j>=k)
chkmin(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
int s=2*(n+1),t=s+1;
flow::add(s,0,k,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
flow::add(s,i,1,0);
flow::add(i+n+1,t,1,0);
}
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(g[i][j]!=Inf)
flow::add(i,j+n+1,1,g[i][j]);
printf("%d\n",flow::mcmf(s,t));
return 0;
}