01背包问题-回溯法

背景

  • 0-1背包是非常经典的算法问题,很多场景都可以抽象成这个问题模型。这个问题的经典解法是动态规划。
  • 不过还有一种简单但没有那么高效的解法,这里用的回溯算法。
  • 0-1背包问题有很多变体,我这里介绍一种比较基础的。我们有一个背包,背包总的承载重量是Wkg。现在我们有n个物品,每个物品的重量不等,并且不可分割。 我们现在期望选择几件物品,装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下,如何让背包中物品的总重量最大?
  • 实际上,假设物品是不可分割的,要么装要么不装,所以叫0-1背包问题。显然,这个问题已经无法通过贪心算法来解决了。我们现在来看看,用回溯算法如何来解决。
  • 对于每个物品来说,都有两种选择,装进背包或者不装进背包。对于n个物品来说,总的装法就有2^n种,去掉总重量超过Wkg的,从剩下的装法中选择总重量最 接近Wkg的。不过,我们如何才能不重复地穷举出这2^n种装法呢?这里就可以用回溯的方法。

我们可以把物品依次排列,整个问题就分解为了n个阶段,每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理,选择装进去或 者不装进去,然后再递归地处理剩下的物品。描述起来很费劲,我们直接看代码,反而会更加清晰一些。

代码如下

package main

import "fmt"

//总的思想是,把n个物体依次排列
//对每个当前物体考虑两种情况,一种是不放进入背包后,递归遍历后边的各种情况
//另一种是放进入背包后,再递归遍历后边的各种情况
//出递归条件,已经访问了最后一个物体了或者已经是背包最大容量了

var maxW int                              //表示背包能装的最大重量
var curAnswer []int                       //当前背包状态,下标表示物体,值表示是否装进背包
var bestAnswerMap = make(map[int][][]int) //存储最佳答案,key背包重量,值为多种情况,所以为数组

func f(i, cw int, items []int, n, w int) {
	if curAnswer == nil { //其实只初始化了一次
		curAnswer = make([]int, n) //curAnswer[x]值为1,表示x加入背包
	}
	if cw == w || i == n {
		if cw != 0 && cw >= maxW { //cw是在背包允许的重量范围里的值,取其中最大值
			maxW = cw
			//如下是为了打印出最佳结果
			bst := make([]int, n)
			for j := 0; j < n; j++ {
				bst[j] = curAnswer[j]
			}
			if val, ok := bestAnswerMap[maxW]; ok {
				val = append(val, bst)
				bestAnswerMap[maxW] = val
				//map中的元素是不能寻址的,val,ok这种方式,拿到的是副本
			} else {
				temp := make([][]int, 0)
				temp = append(temp, bst)
				bestAnswerMap[maxW] = temp
			}
			//以上是为了打印出最佳结果
		}
		return
	}
	curAnswer[i] = 0        //考虑不放进入
	f(i+1, cw, items, n, w) //考虑不放入当前物体的情况
	if cw+items[i] <= w {
		curAnswer[i] = 1                 //考虑放进入背包
		f(i+1, cw+items[i], items, n, w) //考虑放入当前物体的情况
	}
}

func main() {
	a := []int{1, 2, 3, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 9}
	f(0, 0, a, 10, 10)
	fmt.Println(maxW)
	for k, v := range bestAnswerMap {
		fmt.Printf("key is %d, value is %v\n", k, v)
		fmt.Println("=======================")
	}
}

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