第十章 重积分

1. 曲顶柱体的体积：

规则柱体的体积公式：   .

想象在曲顶柱体的底面上任取一小块区域，记作：（这一小块的面积也用来表示），设曲顶柱体的顶面有函数   ,取小闭区域上任一点作为小柱体的高，则小柱体的体积近视表示为   ,取积分就得到柱体的体积

2.平面薄片的质量：

质量元素为： 

3.二重积分的定义：

1. 函数 是定义在有界闭区域上D上的 

2.函数  是有界函数 。 

3.对积分区域的划分是用直线网来划分的 。 

4.结论：有界闭区域D上的连续函数   的二重积分必定存在，即是定义中的极限必定存在。 

5.曲顶柱体的体积：

   

平面包边的质量：

    ，其中u（x，y） 是薄片的面密度 ，所谓薄片就是单位厚度，理解为各种“1” ，例如：1CM,1M根据实际选取的量纲不同而不同 。 

6.二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积， 是曲顶柱体的 顶  在点  处的竖坐标。

            6.1   如果  ，那么;

            6.2   如果  ，那么;

            6.3   如果 （f 有正有负）

                               

             6.4当二重积分的最大值 

                       

 

4.二重积分的性质：

 4.1 函数可加（积分区域相同函数可以相加减）

 4.2 积分区域可加，（函数相同，不同的积分区域可以相加减，这个可以结合初等数学中的所谓“割补法”）

 4.3 二重积分可以计算闭区域的面积 

                         

====不等性质：

4.4 若 

                             .

                                   事实上 

绝对值不等式：

                          

4.5  估值不等式 

                        

4.6  中值定理：

                        

============二重积分的计算

5.直角坐标中二重积分的计算（最基本的方法）

5.1  后积先定限，限内画条线，从负向着正，先交为下限，后交为上限。 

                     

TIP：根据积分区域的类型，选择合适的积分次序：

（1）转化成定积分容易计算；

（2）积分区间容易表达，计算量低。 

（3）利用积分区间的对称性，配合积分的集合意义；和被积函数的奇偶性事先化简积分。 

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待补充

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5.2 利用极坐标计算：

极坐标于直角坐标的关系：

                                       

极坐标下的面积元素： 

                        

利用极坐标做代换之后，二重积分的计算仍然按照直角坐标的计算方式进行；重点在于极坐标下积分区域的表示。

5.3 二重积分的换元法：

                   

（1）换元法是坐标面的变换，极坐标变化，可以看作是换元法的特殊情形 ； 

（2）主要是各种整体代换。 

（3）要求 具有一阶连续偏导数 ，保证代换后仍然可积 ；雅克比行列式不为零；映射是一对一的 ； 

6.三重积分：

6.1         三重积分是二重积分的推广,实际意义是空间几何体的质量。

6.2         定义：

         

6.3        三重积分的计算：

         

          （1）投影法：先1后2；  后积先定限，限内画条线；

          （2）截痕法：先2后1；  后积先定限，限内画个面

6.4  柱面坐标计算三重积分:

柱面坐标：

r为常数，表示以z为轴的柱面； 为常数表示过z轴的半平面；z为常数表示平行于  面的平面

柱面坐标下的的体积元素：

柱面坐标下的三重积分：

（投影在xoy面的情形，类似可以讨论投影到其他坐标面的情形）

 

球面坐标计算三重积分：

   

纬线的微分是先计算近似点处的平面半径，然后根据弧长公式取得角度增量  , 

因此， 

 

7.重积分的应用：

曲面的面积：

空间平面在坐标面上上投影区域的面积 

  

   

于是空间曲面的面积为：

注意：空间曲面的法向量公式。

 

 

质心：

质点的静矩：md  ，利用元素法求得总的静矩于物体的质量做比值就得到质心坐标。

密度均匀薄片的质心公式 ：

  由于这时候的质心，只与薄片的集合形状相关 ，所以也叫做  形心 

 

转动惯量：

质点的转动惯量：

平面薄片的转动惯量：

 

 

万有引力：

量个质点的万有引力公式： 

利用元素法，可以表示出近似质点的引力，然后再分解到各个坐标方向上在积分，就得到各个方向上的分力 ； 

记住：空间向量的方向余弦的计算