线性代数——线性变换——旋转矩阵（泰勒公式、虚数、欧拉公式）

设点离坐标原点距离，与轴夹角，将点绕原点逆时针旋转，旋转之后点的坐标为。显然与原点距离不变，仍然为。

 显然如下关系成立：

整理得到：

把上面这两个方程写成矩阵形式：

所以，只要用上面这个矩阵作用在一个矢量上，就会得到旋转之后的矢量。因此，这个矩阵就代表了把矢量逆时针旋转的旋转操作。

【扩充】证明，

证明：

分成3个部分：

1）、理解泰勒公式的由来及意义

问题：一个简单的三角函数，现在要求当时的函数值。如果不借助计算机，要怎么求这个值呢?

泰勒的思路是：用多项式函数去近似拟合三角函数。

在回归分析中，我们以多项式函数拟合数据集，多项式的“项”越多，对数据集的拟合程度越好，如下图。

 于是这个问题就转换为求解一个多项式函数（“项”的个数越多拟合越好，可以无穷大），让这个多项式函数无限地和三角函数或者其他我们需要的函数等价。

推导过程如下：

我们定义，我们塑造一个多项式函数：，其中为误差项，是和的差值。

令，则。

 我们假设在点左右邻域内，各阶导数都存在（必要条件），则：

....

进而得：

....

将系数代入

化简得：

，误差项可去掉，得

，这就是泰勒公式，其中代表的阶导数。

案例1： 

①先求其的阶导数

....

已知：.....

②我们将阶导数代入方程，得

取，得：

案例2： 

①我们知道

②

取，得：

2）、欧拉公式的推导（当时，）

泰勒公式：

虚数部分：

...

根据，我们可以将做下变换，结果如下：

；

做下变换，结果为：

，乘以，

，所以：

，即

3）、证明，

从上面证明的欧拉公式可知：

令=，

则

所以得到：

，