博弈论——扩展式博弈(Extensive Game)

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基本概念

• 在扩展式博弈中，玩家按照博弈的进程在不同阶段进入决策而不是同时决策，因此决策实际上是一个树形结构，博弈从根节点开始，沿一条路径到达叶节点结束。

  • 非叶节点处某一玩家做出决策
  • 不同分支为不同决策后博弈的走向
  • 叶节点为博弈结果

• 在普通博弈基础上扩展式博弈的组成增加了：

  • 历史(Histories)H：从根节点到当前决策节点的路径中经过的决策的序列(有序集)。特别的，根节点历史为$\varphi$
  • Player Function:$P(h)$表示在历史h后进行决策的玩家。

• 因此扩展式博弈可以表示为：$G=\{N,H,P,\{u_i\}\}$

例如在如下博弈中：

$N=\{1,2\}$

$H=\{\varphi ,A,B,AL,AR\}$

$P:P(\varphi )=1;P(A)=2$

• 纯策略：玩家i的纯策略可以定义为：${\times }_{h\in H}\{a^S:(h,a^S)\in H,P(h)=i\}$，即所有决策玩家为i的节点决策集的笛卡儿积。（按照从根节点开始按层次书写）

  • 纯策略的纳什均衡可由列表法直接计算得出。
  • 定理：完全信息的扩展式博弈至少存在一个纯策略纳什均衡（因为每个节点都必须要选出一个最佳策略）

• initial history：$A(h)=\{a:(h,a)\in H\}$，即h后的所有候选决策集。

• terminal history set：$Z=\{(a^1...a^i):i\to \inf or{a}^{i+1}\notin H\}$

• 博弈长度：$l(G)=\underset{h\in H}{\max }\{|h|\}$，即博弈树高度

• $s_i$为玩家i的纯策略，则定义$s_i(h)=a,a\in A(h),a\in s_i,P(h)=i$，即玩家i在策略$s_i$下在h的终点节点所做选的策略。

子博弈

• 子博弈(Subgame)：即博弈树的一个高度大于1的子树。特别的，博弈树也是一个子博弈。

  • 子博弈可表示为$G(h)=\{N,H{|}_h,P{|}_h,\{u_i{|}_h\}\}$
  • $s_i{|}_h(h^{\prime })=s_i(h,h^{\prime })$

• 子博弈完美均衡(Subgame Perfect Equilibrium)：博弈结果为为子博弈完美的当且仅当每一个子博弈都达到纳什均衡。

  • 定理：完全信息的扩展式博弈中一定存在完美子博弈
  • SPE可以通过后向归纳法求得，即不断用子博弈的均衡结果代替子树，直到到达根节点。

• 单步偏离原则(One Deviation Principlr)：

  $sisSPE⟺\forall i\in N,\forall h\in \{H-Z\}s.t.P(h)=i$

  ​ $u_i{|}_h(s_i^{\ast }{|}_h,s_{-i}^{\ast }|h)\ge u_i{|}_h(s_i,s_{-i}^{\ast }|h)$，其中$s_i和s_i^{\ast }$只在$A(h)$中选取不同决策。

  即对有限博弈树，判断是否为SPE只需考虑当前节点决策是否最优，而不需要考虑历史决策。

例题

主从博弈(Stackleberg Competition)

规则和古诺均衡类似，两家公司决定产量，不过Player1先决定产量以后Player2再决定产量。

收益满足$u_i(q_1,q_2)=(max\{0,a-b(q_1+q_2)\}-c)q_i$

• Player2：对于Player2决策节点构成的子博弈，$q_1$为已知量，最大收益为导数为0时，因此$q_2=(a-c-b{q}_1)/2b$，和古诺均衡一致。
• Player1：由后向归纳法，可以将Player2决策的节点收缩为收益为$(a-c-b{q}_1)/2b$的叶节点，因此此时Player1的收益为$(a-b(q_1+\frac{a-c-b{q}_1}{2b})-c)q_1$，导数为零时$q_1=\frac{a-c}{2b}$
• 回代得，$q_2=\frac{a-c}{4b}$，Player1收益更多。