CQOI 2017 题解

[CQOI2017]小Q的棋盘
贪心走完最长链，然后剩下的两步可以走一个点
[CQOI2017]小Q的表格
发现 $b\ast f(a,a+b)=(a+b)\ast f(a,b)$, 于是有 $\frac{f(a,a+b)}{a+b}=\frac{f(a,b)}{b}$
于是有 $\frac{f(a,a\%b)}{a\ast (a\%b)}=\frac{f(a,b)}{a\ast b}=\frac{f(a\%b,a)}{(a\%b)\ast a}$
这与 gcd 辗转相除特别像
于是有 $\frac{f(a,b)}{a\ast b}=\frac{f(gcd(a,b),gcd(a,b))}{gcd(a,b{)}^2}$
$$ans=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{k}f(i,j)$$
$$=\sum _{d=1}^k\frac{f(d,d)}{d^2}\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{k}ij[gcd(i,j)=d]$$
$$=\sum _{d=1}^{k}f(d,d)\sum _{i=1}^{k/d}\sum _{j=1}^{k/d}ij[gcd(i,j)=1]$$
考虑到 ${\sum }_{i=1}^{n}i[gcd(n,i)=1]=\frac{\phi (n)\ast n}{2}$，所以有
$$\sum _{i=1}^{k/d}\sum _{j=1}^{k/d}ij[gcd(i,j)=1]=\sum _{i=1}^{k/d}{i}^2\ast \phi (i)$$
可以预处理，然后需要求 f 的前缀和，需要查询 $m\ast \sqrt{n}$，修改 $m$次，于是用分块维护前缀和就可以了
[CQOI2017]老C的任务
主席树，树套树，CDQ随便选一个开心就好
[CQOI2017]老C的键盘
考虑dp，$f_{i,j}$ 表示 i 的子树，它的排名为 j 的方案数，枚举当前排名
然后从自己子树选几个比它小，从其他子树选几个比它小，如果当前比子树大
$f_{u,l}={\sum }_{i+j=l}{\sum }_{k=1}^j{f}_{u,i}\ast f_{v,k}\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j-1}{i-1}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{si{z}_x+si{z}_y-l}{si{z}_x-i}\right)$
发现有一个东西可以用前缀和维护一下，比子树小的情况差不多