数据结构——堆，小顶堆，大顶堆，堆排序

1.简介

 堆是什么？堆是一种特殊的完全二叉树，就像下面这棵树一样：

这棵树有一个很显著的特点，那就是所有父结点都要比子结点要小。符合这样要求的完全二叉树我们成为“最小堆”。反之，如果所有父结点都要比子结点大，这样的完全二叉树被称为”最大堆“。

2.下移ShiftDown

如果我们现在要删除掉最小的数字，并重新插入一个数字，再从中找出最小的数字。目前只能够先扫描所有的数字，找到最小的数，插入新的数字后再扫描所有的数字。这样子的时间复杂复是O（N²），那么有没有更好的方法呢？”堆“的结构恰好能够很好地解决了这个问题。

首先将数字按照最小堆的要求放进一颗完全二叉树，就像下面这棵树一样。然后用数组h存储这些数字。

很显然最小的数就在堆顶，假设存储这个堆的数组是h，那么最小的数字就是h[1]。接下来将堆顶的数字删除。将新增的数字28放入堆顶。此时显然不满足小顶堆的特性，我们需要将新增的数字调整到合适的位置。如何调整呢？

向下调整！我们需要将这个数字与它的两个儿子2和5比较，选择较小的一个和它交换，交换之后如下：

我们发现此时还是不符合最小堆的特性，因此还需要继续向下调整。于是继续将28与两个儿子12和7比较，选择较小的一个进行交换

此时还是不满足，继续向下调整：

现在我们已经找到符合最小堆的特性了。综上所述，当新增加一个数被放到顶堆时候，如果发现不符合最小堆的特性，就必须要向下调整，直到找到合适的位置位置。使其重新符合最小堆的特性。

向下调整的代码如下：

void shiftdown(int i)
{
    int tmp; //临时变量，用来存储更新结点编号
    int flag=0;//用来标记此顶点需不需要向下调整，0是需要调整，1是不需要
    while(i*2<=n && flag==0)//当结点存在儿子时，至少存在左儿子，执行循环
    {
        //首先判断与左儿子的辨析，用tmp记录值较小的结点编号
        if(h[i]>h[i*2])
        {
            tmp=i*2;
        }
        else
        {
            tmp=i;
        }
        if(i*2+1<=n) //如果有右儿子，再对右儿子进行讨论
        {
            if(h[i*2+1]

 

3. 上移ShiftUp

如果只是想新增一个值，而不是删除最小值呢？即在原有的堆上面直接插入一个新元素。其实只需要在堆尾直接插入，再根据情况判断是否需要将新元素上移，直到满足最小堆的特性位置。例如我们现在要新增一个元素3：

 

先将3和它的父节点25比较，发现比父结点要小，交换。

交换之后发现还是比此时的父结点6小，再进行交换。此时满足了最小堆的特性。

向上调整的代码如下：

void shiftup(int i)
{
    int flag=0;
    if(i==1)
        return;//此时是堆顶，不需要上调
    while(i!=1 && flag=0)
    {
        if(h[i]

 

4.建堆 

 说了半天，我们忽略了一个很重要的问题，就是如何建立这个堆。我们可以把所有数值直接放入一个完全二叉树中，并且用一个数组存储：

在这课完全二叉树中，我们从最有一个结点开始，依次判断以这个结点为根的子树是否符合最小堆的特性。如果所有的子树都符合最小堆的特性，那么这个就是最小堆了。

首先我们从叶结点开始。因为叶结点没有儿子，所以所有以叶结点为根结点的子树都符合最小堆的特性。因此所有叶结点可以不处理，直接跳过。

完全二叉树有一个很重要的性质：最有一个非叶结点是第n/2个结点。

利用这个性质，我们从第n/2个结点开始处理这颗完全二叉树。

下面是已经调整好的状态：

目前这棵树还是不符合最小堆的特性，我们继续调整：

调整完毕后：

实现的部分代码：

void create()
{
    for(int i=n/2;i>=1;i--)
    {
        shiftdown(i);
    }
    return ;
}

 

5.堆排序

 堆还有一个作用就是堆排序，与快速排序一样，堆排序的时间复杂度是O(NlogN)。

堆排序的实现很简单，比如说我们现在要进行从小到大的排序，可以先建立最小堆，然后每次删除顶部元素并将顶部元素输出或者放入一个新的数组中，直到堆为空为止。最终输出或者存放在新数组中的数就已经是排序好了的。

int deletemin() //删除方法的堆排序
{
    int tmp;
    tmp=h[1];//临时记录第一个结点的值
    h[1]=h[n];//将最大的值放到第一个位置。
    n--;//将堆的大小-1
    shiftdown(1);
    return tmp;//返回最小值。
}

当然堆排序还有一种更好的办法。从小到大排序的时候不建立”最小堆“而是建立”最大堆“！

最大堆建立好之后，最大的元素是h[1]，因为我们需要从小到大排序，希望最大的数放在最后，那么我们将h[1]和h[n]交换，此时h[n]就是数组中最大的元素。最大的元素归位后，将堆的大小减1，n--，并将交换后的新h[1]向下调整维持特性。如此递归，直到堆的大小是1位置。此时数组h已经是排好序了。

void HeapSort() //交换思维的堆排序
{
    while(n>1)
    {
        swap(1,n); //将最小的元素放到堆顶，最大的元素放到h[n]，此时h[n]就是最大的元素。
        n--; //将堆的大小减小1
        shiftdown(1); //向下调整
    }
}

 

6.源代码 

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int h[1111]; //用来存储二叉树的数组。
int n;//堆的大小

void swap(int x,int y)
{
    int temp;
    temp=h[x];
    h[x]=h[y];
    h[y]=temp;
    return;
}

void shiftdown(int i)
{
    int tmp; //临时变量，用来存储更新结点编号
    int flag=0;//用来标记此顶点需不需要向下调整，0是需要调整，1是不需要
    while(i*2<=n && flag==0)//当结点存在儿子时，至少存在左儿子，执行循环
    {
        //首先判断与左儿子的辨析，用tmp记录值较小的结点编号
        if(h[i]=1; i--)
    {
        shiftdown(i);
    }
    return ;
}

void HeapSort() //交换思维的堆排序
{
    while(n>1)
    {
        swap(1,n); //将最小的元素放到堆顶，最大的元素放到h[n]，此时h[n]就是最大的元素。
        n--; //将堆的大小减小1
        shiftdown(1); //向下调整
    }
}

int main()
{
    int num;
    cout << "请输入元素的个数："<< endl;
    cin >> num;
    cout << "请输入各结点的元素：" << endl;
    for (int i=1;i<=num;i++)
    {
        cin >> h[i];
    }
    n=num;
    create();//建堆
    HeapSort();//排序
    for (int i=1;i<=num;i++)
    {
        cout << h[i];
    }
    cout << endl;
    return 0;
}