算法分析——最大连续子序列和的问题

最大连续子序列求和问题

问题引出：

给定整数A1，A2，A3···AN（可能有负数），求解的最大值。如果所有的整数全是负数，则最大连续子序列的和为零。

举个例子，如果输入｛-2，11，-4，13，-5，2｝，那么答案是20，它代表的连续序列是从第2项至第4项。再举一个例子，输入为｛1，-3，4，-2，-1，6｝，那么答案是7，这个子序列包括最后4项。

·简单的O(N3)算法

·改进的O(N2)算法

·线性算法

设Ai,j是任意一个子序列，它包含的元素从i到j，设Si,j是Ai,j的和。

则有如下结论：

1.设Ai,j是任意Si,j < 0的序列，如果q > j ,那么Ai,q 肯定不是最大连续子序列。（因为如果Si,j < 0，那么最大连续子序列完全可以排除Ai,j 这些元素，取之后的人一个非负元素作为最大连续子序列）

2.对于任意i，设Ai,j 是一个序列，且Si,j < 0 ，那么，对于任意i <= p <= j ,且 p <= q, 那么Ap,q要么不是最大连续子序列的和，要么等于已出现的最大连续子序列。

证明如下：

如果 p = i，则应用结论1 。否则，有Si,q = Si,p-1 + Sp,q 。因为Si,j < 0  ，j是最低的下标，所以Si,p-1 >= 0。因此Sp,q  <= Si,q 。当q > j时，有结论1知，Ai，q 不是最大连续子序列，而由Sp,q  <= Si,q 得知，Ap,q也不是最大连续子序列。如果q <= j,则Ap,q 的和最多与已出现的子序列Ai，q 的和相等。

据以上两个结论，可以得到优化的线性算法

package com.zgy.datastructures.maxsubsequence;

/**
 * 
 * @author yaguanzhou
 * @version 1.0
 * 
 */
public class MaxSubSequence {

	public static int start = 0;
	public static int end = 0;

	public static void main(String[] args) {
		int[] testArray = { 1, -3, 8, 11, -5, 21, 19, -20 };
		int max_n3 = maxSubSequenceSum_N3(testArray);
		System.out.println("最大子序列：" + "从 第" + (start + 1) + "到第" + (end + 1)
				+ "个元素,子序列的和为：" + max_n3);

		int max_n2 = maxSubSequenceSum_N2(testArray);
		System.out.println("最大子序列：" + "从 第" + (start + 1) + "到第" + (end + 1)
				+ "个元素,子序列的和为：" + max_n2);

		int max_n1 = maxSubSequenceSum_N1(testArray);
		System.out.println("最大子序列：" + "从 第" + (start + 1) + "到第" + (end + 1)
				+ "个元素,子序列的和为：" + max_n1);
	}

	/**
	 * 此方法的时间复杂度为N的3次方
	 * 
	 * @param int[] arr
	 * @return maxSum
	 */
	public static int maxSubSequenceSum_N3(int[] arr) {
		int maxSum = 0;// 最大子序列的和
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// 从数组中的第一个元素开始循环
			for (int j = i; j < arr.length; j++) {// 从当前元素开始，叠加其后的元素
				int currentSum = 0;
				for (int k = i; k <= j; k++) {// 从当前元素开始叠加到其后特定位置上的元素
					currentSum += arr[k];
				}
				if (currentSum > maxSum) {
					maxSum = currentSum;
					start = i;
					end = j;
				}
			}
		}
		return maxSum;
	}

	/**
	 * 此方法的时间复杂度为N的2次方
	 * 
	 * @param int[] arr
	 * @return maxSum
	 */
	public static int maxSubSequenceSum_N2(int[] arr) {
		int maxSum = 0;// 最大子序列的和
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// 从数组中的第一个元素开始循环
			int currentSum = 0;
			for (int j = i; j < arr.length; j++) {// 从当前元素开始，叠加其后的元素
				currentSum += arr[j];
				if (currentSum > maxSum) {
					maxSum = currentSum;
					start = i;
					end = j;
				}
			}
		}
		return maxSum;
	}

	/**
	 * 此方法的时间复杂度为O(N)
	 * 
	 * @param int[] arr
	 * @return maxSum
	 */
	public static int maxSubSequenceSum_N1(int[] arr) {
		int maxSum = 0;// 最大子序列的和
		int currentSum = 0;
		for (int i = 0, j = 0; j < arr.length; j++) {// 从数组中的第一个元素开始循环
			currentSum += arr[j];

			if (currentSum > maxSum) {
				maxSum = currentSum;
				start = i;
				end = j;
			} else if (currentSum < 0) {//如果叠加得到和小于0，则舍弃之前的元素，往后继续叠加
				i = j + 1;
				currentSum = 0;
			}
		}
		return maxSum;
	}
}

输出：

最大子序列：从 第3到第7个元素,子序列的和为：54
最大子序列：从 第3到第7个元素,子序列的和为：54
最大子序列：从 第3到第7个元素,子序列的和为：54