20200530 专题：莫比乌斯反演

总览：

前置：

狄利克雷卷积：

$$\begin{gathered} H=F\ast G \\ H(n)=\sum _{d|n}F(d)G(\frac{n}{d}) \end{gathered}$$

狄利克雷除法：

$$\begin{gathered} H=\frac{F}{G} \\ H(n)=\frac{F(n)-{\sum }_{d|n,d\ne 1}G(d)H(\frac{n}{d})}{G(1)} \end{gathered}$$
推导：
$$\begin{gathered} H=\frac{F}{G} \\ F=G\ast H \\ F(n)=\sum _{d|n}G(d)H(\frac{n}{d}) \\ F(n)=G(1)H(n)+\sum _{d|n,d\ne 1}G(d)H(\frac{n}{d}) \\ G(1)H(n)=F(n)-\sum _{d|n,d\ne 1}G(d)H(\frac{n}{d}) \\ H(n)=\frac{F(n)-{\sum }_{d|n,d\ne 1}G(d)H(\frac{n}{d})}{G(1)} \end{gathered}$$

一些函数：

狄利克雷前缀和：

$$g(n)=\sum _{d|n}f(n)$$
对于
$$\begin{gathered} i=p_1^{u_1}\times p_2^{u_2}\times ...\times p_n^{u_n} \\ j=p_1^{v_1}\times p_2^{v_2}\times ...\times p_m^{v_n} \\ m\le n，v_k\le u_k \end{gathered}$$
$g(i)$ 中含有 $f(j)$
于是将每个数质因数分解，每个质因数看作一个维度，指数看作下标
狄利克雷前缀和即求 n 维前缀和
先线性筛，然后用埃氏筛统计前缀和

for(int i=1;i<=tot;i++)
		for(int j=1;pri[i]*j<=n;j++)
			a[pri[i]*j]+=a[j];

时间复杂度：$O(nloglogn)$

莫比乌斯反演：

一般形式：

$$\begin{gathered} F(n)=\sum _{d|n}f(d) \\ f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d}) \end{gathered}$$

推论1：

$$[gcd(i,j)==1]=\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$$
证明：
$$\begin{gathered} \mu =\frac{e}{1} \\ e=\mu \ast 1 \end{gathered}$$

推论2：

$$\begin{gathered} ans=\sum _{a_1,a_2,...,a_n}(F_1(a_1)\times F_2(a_2)\times ...\times F_n(a_n))\times G(\prod a_i) \\ 令H=F_1\ast F_2\ast ...\ast F_n，d为a_k的积 \\ ans=\sum _{d}H(d)\times G(d) \end{gathered}$$