对角矩阵

因为矩阵就是线性变换的表示，矩阵乘法就对应着线性变换的复合

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。

对角矩阵（diagonal square matrix）是最好的矩阵之一。

• 给出一个满秩的对角方阵，我们可以一眼看出它的特征值，特征向量，逆矩阵，行列式的值，迹等等重要的特性。
  
• 对角方阵表征线性变换时，这个变换是解耦的，在二维和三维，其几何意义更是显而易见的。
• 等等。

因此，人们更愿意去处理对角方阵。
因此，人们千方百计的 把一些不好的矩阵变成好的矩阵。这也就是各种对角化方法的意义。

进一步的事实发展证明对角化操作很有用。最基本的，你想算一个方阵A的n次幂，用对角化容易多了吧？你会问算个幂有什么了不起？这用处就大了，有了A的n次幂我们就可以有关于A的函数的多项式展开啊！而利用多项式展开又可以反过来定义一些矩阵函数啊！（比如exp^A, sinA）等等等等吧，总之好处很多。其中的原因都可以归为上述两条：对角矩阵性质太好太容易研究发展了，而矩阵乘法又太重要太常见。

参考: https://wenku.baidu.com/view/8f21f8e714791711cd791721.html