算法导论第21章思考题

脱机最小值（off-line minimum problem）

输入

给定一个操作序列，包括INSERT(x)和EXTRACT-MIN，操作数x∈[1,n]

样例输入

4,8,E,3,E,9,2,E,E

输出

将第i次EXTRACT-MIN的数保存在extract[i]中

在线算法

建立一个优先队列，给定一个操作，马上在优先队列中做出相应改变即可

离线算法（off-line）

算法解释：将样例输入看成S1,E,S2,E,S3,E,S4,E，其中S1={4,8}，S2={3}，S3={9,2}，S4={}，为不相交的集合。i从小的开始找，如样例输入中最小的是2，调用FIND-SET(2)，属于S3，所以extract[3]=2，随后，调用UNION(S3,S4)，把S3合并到S4中。

算法的运行效率：O(n*α(n))

深度确定（depth-determination）

目的

维护一个具有MAKE-TREE、GRAFT、FIND-DEPTH操作的森林F={Ti}

实现

新建一个并查集森林S={Si}，每个Si对应于一个Ti，Si中的结点额外保存了一个伪距离d

MAKE-TREE类似于MAKE-SET：node.p = node，node.d = 0

FIND-DEPTH类似于FIND-SET：在递归的过程中重置路径上结点的d，并把结点指向根节点

GRAFT类似于UNION：把a接到b上，a.d = b.d+1

时间效率

毫无疑问，O(m*α(m))

最小公共祖先算法（Lowest Common Ancestor）

不同于思考题，这里贴出一个讲义上的LCA算法：https://web.stanford.edu/class/cs97si/03-data-structures.pdf

算法时间

预处理每个结点：O(lgn)，对于每个询问O(lgn)

算法流程

①计算出每个结点x的第2^k个祖先，并保存在Anc[x][k]中：

②对于每个询问（p，q），不妨设p.depth < q.depth。将q向上移动，调整至p.depth = q.depth

③for k = lgn to 0，若p、q的第2^k祖先相同，则尝试更小的k；若不同，则将p、q移至第2^k的祖先处

④重复这一过程，直到p=q

以上是本人的一点思考，如有错误还请指出~