拉格朗日插值法小结

插值就是找一个多项式过几个已知的点。

使用待定系数法+高斯消元可以做到 O(n3) O ( n 3 ) 。这显然不是最优解，不然标签就是高斯消元了= =

下面介绍拉格朗日插值法。
我们考虑一个多项式函数 f(x) f ( x ) ，其中 f(xi)=yi f ( x i ) = y i 。再考虑一个一个多项式 g(x) g ( x ) ，其中 g(xi)=zi g ( x i ) = z i 。他们的和函数 h(x) h ( x ) ，即这两个多项式的和，可以表示成 h(xi)=yi+zi h ( x i ) = y i + z i 。

那么，举个例子，如果我们找到一个多项式 y=k1x+b1 y = k 1 x + b 1 过 (1,3)和(2,0) ( 1 , 3 ) 和 ( 2 , 0 ) ，还有一个多项式 y=k2x+b2 y = k 2 x + b 2 过 (1,0)和(2,1) ( 1 , 0 ) 和 ( 2 , 1 ) ，把这两个多项式加起来，就可以的到一个过 (1,3)和(2,1) ( 1 , 3 ) 和 ( 2 , 1 ) 的多项式。

假如我们要为n个点做一个n-1次多项式，设这n个点为 (xi,yi) ( x i , y i ) ，这个多项式可以看做n个下面的函数的和。其中，第 i i 个多项式函数 fi f i 除了在 fi(xi)=yi f i ( x i ) = y i 外，其他的位置取值都为0，即 fi(xj)=0(i≠j) f i ( x j ) = 0 ( i ≠ j ) 。

大家应该学过二次函数的零点式，即

f(x)=a(x−x1)(x−x2) f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 )

显然在 f(x)=0 f ( x ) = 0 时，必有 x1,x2 x 1 , x 2 两解。推而广之，一个有n个顶点的n次多项式可以写为，

f(x)=a(x−x1)(x−x2)……(x−xn) f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … … ( x − x n )

那么插值用的第i个多项式可写作为

fi(x)=a∏i≠j(x−xj) f i ( x ) = a ∏ i ≠ j ( x − x j )

又有 fi(xi)=yi f i ( x i ) = y i ，带入 xi x i ，可得

a=yi∏i≠j(xi−xj) a = y i ∏ i ≠ j ( x i − x j )

所以

fi(x)=yi∗∏i≠j(x−xj)∏i≠j(xi−xj) f i ( x ) = y i ∗ ∏ i ≠ j ( x − x j ) ∏ i ≠ j ( x i − x j )

所以，插值总式为，

f(x)=∑i=1nyi∗∏i≠j(x−xj)∏i≠j(xi−xj) f ( x ) = ∑ i = 1 n y i ∗ ∏ i ≠ j ( x − x j ) ∏ i ≠ j ( x i − x j )

也可以写作，

f(x)=∑i=1na∗∏i≠j(x−xj) f ( x ) = ∑ i = 1 n a ∗ ∏ i ≠ j ( x − x j )

显然这时候预处理 a a 要 O(n2) O ( n 2 ) ，求一次值也要 O(n2) O ( n 2 )

如果我们先预处理出 D=∏ni=1(x−xi) D = ∏ i = 1 n ( x − x i ) ， Dx−xi=∏i≠j(x−xj) D x − x i = ∏ i ≠ j ( x − x j ) ，就可以 O(n) O ( n ) 求值。

假如 xi x i 为等差数列，那么也可以通过预处理阶乘跑出 ∏i≠j(xi−xj) ∏ i ≠ j ( x i − x j ) ，从而做到 O(n) O ( n ) 插值， O(n) O ( n ) 求值。

也就是告诉我们，当 xi x i 可以由我们定的时候，显然要按顺序算啦。