【HNOI2016】序列

题意

给定长度为 n 的序列： a1,a2,...,an ， q 个询问，每个询问给一个区间，询问该区间的不同子序列的最小值之和。
n,q≤105

解法

     Philips Weng大神（%%%）用一个线段树存8个值的 nlog2n 做法过了，但我这里介绍一个 nn−−√ 的莫队算法（T3也是莫队，D1T1也是分块，这是有多喜欢 n−−√ ？）。
     我们假设当前求出了区间 [l,r] 的答案，现在要求 [l,r+1] 相对于 [l,r] 增加的答案（ [l,r−1] 的答案可以用原答案减去 [l,r] 相对于 [l,r−1] 增加的答案）。
     新增的答案为 ∑r+1i=lmin(i,r+1) ， min(i,r+1) 表示区间 [i,r+1] 中的最小值。有一个暴力的想法，维护一个从左至右单调递增的栈，然后扫一遍栈，算出贡献。但是每次构一次栈显然是不能接受的。
     于是我们可以预处理出一个从 1 开始的栈，当做到一个位置 i 时，栈中它底下一个的位置为序列中它左边第一个小于它的位置。此时的栈为 1 到 i 的一个单调递增序列，此时的贡献也很好统计，我们记为 sum[i] （因为总贡献为相邻元素的贡献之和，所以它相当于栈中元素的贡献前缀和）。
     回到刚刚的问题，我们可以找到 [l,r+1] 中最小值的位置 pos ，对于 i∈[l,pos] ,它们对增量的贡献为 a[pos] ；而对于 i∈[pos+1,r+1] ，我们相当于要跟原来一样构一个单调栈算一下贡献，但是我们发现，这个单调栈是我们预处理出的 到 r+1 的前缀单调栈的， 开头为 pos 的“后缀”。这个是显然的，因为 a[pos] 是该区间的最小值，所以 pos 一定会出现在到 r+1 的前缀单调栈中。所以这部分的贡献 =sum[r+1]−sum[pos] 。总贡献为 (pos−l+1)∗a[pos]+sum[r+1]−sum[pos] 。我们只要知道区间最小值的位置就能 O(1) 求出答案增量了，而这个就是经典的 RMQ 了。
     对于求 [l−1,r] 的增量也是相同的，只需求个倒序的单调栈即可。