扩展欧几里得最小整数解

我们先讨论a,b,c都大于0的情况 （都为整数）

 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     int d=a;
     if(b!=0)
     {
         d=exgcd(b,a%b,y,x);
         y-=(a/b)*x;
     }
     else
     {
         x=1;
         y=0;
     }
     return d;
 }

可以用扩展欧几里德算出 一个特解 x0 , y0; 

满足下列方程

 a*x0+b*y0=gcd(a,b);

如果c%gcd==0  那么此方程有解，否则没有解

若有解

方程两边同时乘以   c/gcd(a,b)  得    (a*c/gcd(a,b))*x0+(b*c/gcd(a,b))*y0=c;

这时得出方程的一个解   x1=x0*c/gcd(a,b)     y1=y0*c/gcd(a,b) 

求最小整数解 意思把x1变到减少到不能减少为止  也就是把x0 减少到不能减少为止

若x0减小x，那么方程左边 整体会减少  （a*c/gcd(a,b)）*x   此时 y0 需要增加相应的数使得等式平衡

而假设 y0增加了y  总体增加了  （b*c/gcd(a,b)）*y  此时 （a*c/gcd(a,b)）*x==(a*c/gcd(a,b))*y

而且x,y为整数  我们可以得到  x/y==b/gcd(a,b)  /   a/gcd(a,b) 

这时  x每次减少 b/gcd(a,b)   y只需增加 a/gcd(a,b)  就可以使得等式平衡。  那为什么我们不约掉gcd(a,b)?

因为x越小，我们得到的最小整数解就会越小。。。。

这时我们让x0不断减 x  (x=b/gcd(a,b)) 直到    x0-i*x>=0 && x0-(i+1)*x<0  (i为减x的次数) 这时得到的就是最小整数解

我们可以让 outcome=x0%x  这时就是答案了（等等 我们又错过了什么？）

假如x0为负数怎么办？  所得outcome=x0%x   为负数（c语言的规则） 这时我们只需要x0+x就可以得到正数了

综上所述：我们可以把x0为正，为负的情况综合起来，得到的表达式如下：

 int main()
 {
      d=exgcd(a,b,x,y);
      if(c%d==0)
      {
           x*=c/d;
              t=b/d;
          x=(x%t+t)%t;
          printf("%d\n",x);
      }
 }

终于来到正题了。。。a,b,c可以为负数，怎么办？这时gcd(a,b) 都可能是负数

其实。。。。。。。

当t<0 时  我们把  t=-t  然后按照上面的方法做就行了。。。。。。。。。。。（没理由。。。尴尬）

 #include
 #include
 using namespace std;
 #define LL long long
 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
 {
     LL d=a;
     if(b!=0)
     {
         d=exgcd(b,a%b,y,x);
         y-=(a/b)*x;
     }
     else
     {
         x=1;
         y=0;
     }
     return d;
 }
 int main()
 {
     LL a,b,c,d,x,y;
     while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c))
     {
         if(a==0&&b==0)
         {
             if(c==0)
             printf("0\n");
             else
             printf("-1\n");
             continue;
         }
         if(a==0)
         {
             if(c%b==0)
             printf("0\n");
             else
             printf("-1\n");
             continue;
         }
         if(b==0)
         {
             if(c%a==0&&c/a>=0)
             printf("%lld\n",c/a);
             else
             printf("-1\n");
             continue;
         }
         d=exgcd(a,b,x,y);
         if(c%d!=0)
         {
             printf("-1\n");
         }
         else
         {
             x*=c/d;
             LL t=b/d;
             if(t<0)
             t=-t;
             x=(x%t+t)%t;
             printf("%lld\n",x);
         }
     }
 }

下面附上一道题目：

扩展欧几里德

Time Limit: 1000ms

Memory Limit: 65536KB

64-bit integer IO format:  %lld      Java class name:  Main

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